§ Линеаризация нелинейных уравнений динамических звеньев.
F(x2(n),x2(n-1), … , , x2; x1(m), … , ,x1; f(q), …, , f) = 0
Если эта функция – нелинейная, она описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, и звено – нелинейное.
Если уравнение линейное – звено нелинейное.
Производим линеаризацию нелинейного уравнения, т.е. разложим функцию в ряд Тейлора.
Линеаризация производится относительно некоторого режима.
Режим должен быть установившимся, т.е. x1 = x10 ; x2 = x20 ; f1 = f10 - постоянные величины, следовательно их производные равны 0: F(0, x20; 0, x10;0, f10)
Пусть F( , x2;,x1; f) = 0 (**)
1. Все координаты рассматриваются как x1 = x10 + ∆ x1 ; x2 = x20 + ∆ x2; f = f10 + ∆ f1
2. Левая часть уравнения раскладывается в ряд Тейлора:
F(0,
x20;
x10;,
f10)
+
-
малые отклонения
- линейное
дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами – результат линеаризации.
x1
= x10
;
x2 = x20 ;
=
; - координаты
точки, относительно которой идет
расположение
f1 = f10
Обозначим: Со
=
;С1
=
;
Bo
= -
;
ro
= -
Вводим символический оператор дифференцирования:
р =
(…)
; рxk
=
(…)
;
,
k
=1,2,…
(Co·p + C1)· ∆ x2 = Bo·∆ x1 + ro·∆ f
О
бозначим:
С(р) =
Со·р
+ C1
B(p) = Bo
r(p) = ro
Получим уравнение 1-го порядка: С(р)· ∆ x2 = B(p) ·∆ x1 + r(p) ·∆ f
(Co·p
+ C1)·
∆ x2
= Bo·∆
x1
+ ro·∆
f
; пусть С1
≠ 0, тогда
введем Т =
;
К =
;
Кf
=
;
Тогда получим: (T·p + 1)· ∆ x2 = K·∆ x1 + Kf··∆f
[ p
] =
;
[ T
] = сек ; [ К
] =
;
[ Кf
] =
;
T – постоянная времени;
K – коэффициент по входной величине;
Kf – коэффициент по возмущению.
Линеаризируем F( , , x2; ,x1; ,f) = 0
С(р) = Со·р2 + С1·р+ C2;
B(p) = Bo·р + B1 ;
r(p) = ro·р + r1;
где Со
=
;
С1
=
;
С2
=
;
Bo
= -
;
B1
= -
;
ro
= -
;
r1
= -
Передаточные функции линейных звеньев.
С(р)·x2 = B(p) · x1 + r(p) · f
С(р) = Со·рn
+ С1·рn-1+…+
Cn;
Со , Bo, ro – вещественные числа
B(p) = Bo·рm + B1·pm-1 +...+ Bm m, n, q – целые неотрицательные числа
r(p) = ro·рq + r1·pq-1 +...+ rq
Нужно задать изменения во времени:
х2(0) = х20;
Начальные условия:
=
....………
х2(n)(0) = х20(n)
Если при t = 0 система находилась в покое, то х2(0) = =…= х2(n)(0) = 0
Для описания системы также используются:
передаточные функции
анализ временной области
частотные функции