Вопрос 34. Второй замечат предел
lim n+(1+1/n)n=e док-во : рассмотр.паремен. Un=(1+1/n)n покажем,
что она монот. и огран. сверху форм.бинома Ньютона
(a+b)n=an+n* an-1*b+n*(n-1)/(1*2)* an-2*b2+…
…+n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/(1*2*3*…*k)* an-k*bk+…
…+n(n-1)(n-2)…(n-n-2)(n-n+1)/(1*2*3*…n)*bn
Un=(1+1/n)n= 1+n* 1/n+n*(n-1)/(1*2)* 1/n2+…+n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/(k!)*1/nk+…+
+n(n-1)(n-2)…(n-n+1)/(n!)*1/nn= 2+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+…+
+(1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n)/k!+…+(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n)/n!
заменим n на (n+1)
Un+1=2+(1-1/n+1)/2!+(1-1/n+1)(1-2/n+1)/3!+…+
+(1-1/n+1)(1-2/n+1)…(1-(k-1)/n+1)/k!+… +(1-1/n+1)(1-2/n+1)…(1-n/(n+1)/(n+1)!
сравним Un и Un+1:n: Un < Un+1
докажем теперь,что она огран.сверху .каждую из скобок Un
стоящих в числителе заменим 1,от этого Un Un<2+1/2+1/2*3+…+1/n!
каждую цифру в знаменатю заменюна <2+1/2+1/22+1/23+…+1/2n-1
найдем сумму этой прогрессии Sn=(a-a*qn)/1-q a=1/2 q=1/2 Sn=3
n Un<3 огранич.сверху | наша варианта монотонно и ограничена
сверху она имеет конечн.предел
lim n+(1+1/n)n=e y=ex-экспонента
Вопрос 35. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные б.М.В.
опр1. функц. (x) в x0 наз-ся бесконечно-малой ,если lim xx0(x)=0
опр2. если 2 б.м. (x0) и (x0) в (.) x0 ,и limxx0(x0)/ (x0)=k
k=const то говорят, что ф-и имеют бесконечный порядок малости
опр3 если 2 б.м. (x0) и (x0) в (.) x0 ,и limxx0(x0)/ (x0)=0 то говорят,
что (x0) имеет более высокий порядок малости, чем (x0)
опр3 если limxx0(x0)/ (x0)=1, то говорят, что эти б.м. эквивалентны,
при этом пишут (x0)~(x0) в (.)x0
Т ”принцип замены на эквивалентную” если в (.)x0 б.м.(x0)~1(x0)
и б.м.(x0)~1(x0),то limxx0(x0)/ (x0)= limxx01(x0)/ 1(x0),т.е. предел
отношения 2 ф-й равен пределу отношения их экв-в
док-во:limxx0(x0)/(x0)=limxx0((x0)/1(x0))*( 1(x0)/2(x0))*( (x0)/1(x0))=
limxx0(1(x0)/2(x0)) замечание1:заметим,что принцип спаведлив только
для отношения и произведения 2 ф-й замечание2:1зам.пред. limx0 sinx/x=1
дает основ-е заключить, что sinx~x; tgx~x;arctgx~x;arcsinx~x в (.)x0
Вопрос 37. Непрерывность ф-ции в точке и на отрезке.
Все элементарные ф-ции непрерывны в каждой точке D(y),
то т. разрыва могут сущ-ть только там где либо совершается
запрещ. действия, либо при переходе через х ф-ция имеет свое выражение.
Ф-ция наз-ся непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой
точке этого отрезка. Если она непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке
достигает своего наибольшего и наименьшего значения.
Если ф-ция непрерывна на отрезке, принимает значение разных знаков,
то внутри отрезка она обратно b.
Вопрос 31. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
Если з-н ф-ции f(x),φ(x),б(буква наоборот)(x) связаны неравенством и
x f (c )<=б(буква наоборот)(x) и крайнии ф-ции стремятся к одному и
тому же пределу, то и предел ф-ции закон. м/з ниже стремится к тому же
самому числу(пределу). φ(x)<=f(x)<=б(наоборот)(x) и lim φ(x)=A. Lim V(x)=A,
то Lim xxo f(x)=A. Док-во: Lim xxo φ(x)=A и Lim xxo V(x)=A =>
x(x-xo)<0=>
,
-E(эпсилон)<V(x)-A<E(эпсилон).
φ(x)-A<=f(x)-A<=V(x)-A.
Е(эпсилон)<f(x)-A<e=>
;
.
Если м/у соответствует значению ф-ции f(x) и φ(x)
на некотором интервале содержащий xxo выполняется
неравенство f(x)<=φ(x) или Lim xxo f(x)=A. Lim xxo f(x)=B=>A<=B.
Вопрос 33. Доказать что ф-ции Yn=(1+1/n)^n имеет предел при nбесконеч
Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел.
Док-во:
-
возрастающая. С увеличением n каждое слогаемое
кроме 2х стоящих на фиксированном месте увеличивается
и при возрастании n появляется новые “x”-слагаемые.
Покажем, что она ограниченна сверху. 1+1+1/2!+1/3!+..+1/n!; 1/2! +-1/2; 1/3!
=1/2*3<1/2*2=1/2^2; 1/4!=1/1*2*3*4<1/2^3; 1/n!<1/2^n+1;
Yn<1+(1+1/2+1/2^2+1/2^3+..+1/2^n+1); nбесконечность.