Вопрос 48. Теорема Лагранжа

если y=(x) 1)непрерывна на [a;b] 2) дифференцируема на ]a;b[

тогда внутри [a;b] найдется хотя бы 1 точка с, такая ,что внутри [a;b]

найдется хотя бы 1 (.) такая,что в ней будет вып-ся условие (b)-(a)=(c)*(b-a)

док-во :F(x)=[(x)-(a)](b-a)- [(b)-(a)](x-a) 1)F(a)=F(b)=0 2)F(x) ]a;b[

3)F(x) непр. на ]a;b[ ф-я F(x) удовл. т.Ролля т.е. с; a<c<b

F(x)=0 F(x)=(c)*(b-a)-[(b)-(a)] x=c

положим, что (c)*(b-a)- [(b)-(a)]=0(b)-(a)=(c)*(b-a)

геметрич. смысл

(b)-(a)= (c)*(b-a)

заметим, что (b)-(a)/(b-a)=tg

-угол наклона хорды стягивающей AB кривой y=(x),

где A(a;(a)) b B(b;(b)) в силу т.Лагранжа (c)=tg

это говорит о том, что если вып-ся условие т.Л вып-ся ,

то на кривой AB найдется (.)с (с;(c)),в которой касательная к дуге бедет || хорде,

стягивающей дугу

замечание (b)-(a)=(c)*(b-a) положим b~x+x; a~x;c=x+x

тогда формула Л. выглядит,как (x+x)-(x)=( x+x)*x

иногда польз-ся фЛ. запис. в таком виде (x)=(x+x)*x) точное значение

заменяя приращение ф-и ее дифференциалом мы получим

приближенное значение , которое равно (x)(x)*x

Вопрос 49. Теорема Коши

если на пр-ке [a;b] заданы 2 функции : y=(x) и y=(x)

и вып-ся условия 1) (x) и (x) на ]a;b[ функции диффер.

2)(x), (x)-непрерывна на [a;b] 3) (x)0 x]a;b[ ,

тогда внутри найдется хотя бы 1 точка с ,

такая,что вып-cя соотношение:(b)-(a)/(b)-(a)=(x)-(x)

док-во: 1)F(x)= [(x)-(a)]*[ (b)-(a)]- [(b)-(a)]*[(x)-(a)] заметим,

что эта ф-я такова,что F(a)=F(b)=0 2)ф-я F(x) непрерывна на [a;b]

(т.к. она –суперпозиция непрерывной ф-и) 3) F(x) –дифференцируема на ]a;b[

ф-я F(x) непрерывна т.Ролля  на [a;b], найдется с ;a<c<b такая ,что F(c)=0

F(x)=(x)[(b)-(a)]-(x)[(b)-(a)] x=c; (x)[(b)-(a)]=(x)[(b)-(a)]

(x)/ (x)= [(b)-(a)]/[(b)-(a)] замечание: (b)=(a) ибо в противоположном

случае для F(x) вып-ся т.Ролля и найдется (c)=0

это противоречит 3 усл-ю теоремы

(геометр смысл.т Коши совпадает с геометр смыслов т.Лагранжа)

Вопрос 50. Правило Лопиталя

если ф-и (x) и (x) в окресности (.)a непрерывны и

дифференцируемы и при этом lim_xa(x)=0 и lim_xa(x)=0,

то lim_xa(x)/(x)= lim_xa(x)/(x) ,т.к.  и  непрерывны

в окресности (.)A  lim_xa(x)=(a)=0 и lim_xa(x)=(a)=0,

а тогда мы можем сказать:

(x)/(x)= ((x)-(a))/ ((x)-(a))= и применить теорему Коши = (с)/(с)

устремим xa,сa получим lim_xa (x)/(x)= lim_xa(с)/(с)

правило Лопиталя :предел отношения 2 ф-й равен пределу

отношения их производных.при решении одного примера

прав. Лопиталя можно применять несколько раз.если мы имее

неопределенность типа 0*или-,

то её необходимо преобразовать к виду 0/0 или /

Вопрос 32. Первый замечательный предел

lim_x0 sinx/x=1 применим т.о пред. сжатой ф-и к д-ву этого пред.

x-мал.(+);S_oab<S_сект<S_oac ;S_oab=1/2R²sinx;S_сект=1/2R²x

S_oac=1/2R²tgx  1/2R²sinx<1/2R²x<1/2R²tgx sinx<x<tgx x-остр.

1<1/sinx<1/cosxcosx<1/sinx<1

док-м,что lim_x0 cosx=1()(>0): =2 |1-cosx|=2sin²x/2<x²/2<

()(>0):|x|<:|1-cosx|<  lim_x0 sinx/x=1