Тема 7. Выборочное наблюдение

Пример 41

При проверке веса поставляемого груза методом случайной повторной выборки было отобрано 350 изделий. В результате был установлен средний вес изделия – 120 г при среднем квадратическом отклонении 9 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.

Решение

1 Рассчитаем предельную ошибку выборки ( ) по формуле

,

где – коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка выборки не превысит t-кратную среднюю ошибку ( при вероятности 0,997);

– средняя ошибка выборки.

Среднюю ошибку выборки рассчитаем по формуле

,

где – среднее квадратическое отклонение;

– объем выборочной совокупности.

Таким образом

2 Определим пределы генеральной средней

,

где – среднее значение признака в генеральной совокупности;

– среднее значение признака в выборочной совокупности.

Для нашего примера

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 118,557 г до 121,443 г.

Пример 42

В городе проживают 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-я случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распределение семей по числу детей (таблица 42.1).

Таблица 42.1 – Состав семей по количеству детей

Число детей в семье	0	1	2	3	4	5
Количество семей	1000	2000	1200	400	200	200

С вероятностью 0,954 найти пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.

Решение

На основании имеющегося распределения семей определим выборочную среднюю и дисперсию

чел.

Предельную ошибку выборки определим по формуле

,

где – коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка выборки не превысит t-кратную среднюю ошибку ( при вероятности 0,954);

– средняя ошибка выборки.

Среднюю ошибку выборки для бесповторного отбора определим по формуле

,

где – дисперсия;

– объем выборочной совокупности;

– объем генеральной совокупности;

– доля выборки.

Таким образом

Определим пределы генеральной средней

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семьях города практически не отличается от 1,5, т. е. в среднем на каждые две семьи приходится 3 ребенка.

Пример 43

Произведено выборочное наблюдение партии однородной продукции для определения процента изделий высшего сорта. При механическом способе отбора из партии готовых изделий в 20 000 единиц было обследовано 800 единиц, из которых 640 изделий отнесены к высшему сорту.

Определить с вероятностью 0,997 возможный процент изделий высшего сорта во всей партии.

Решение

В случае механического отбора предельная ошибка выборки определяется по формуле

,

где – коэффициент доверия ( при вероятности 0,997);

– средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка выборки равна

,

где – выборочная доля;

Таким образом

Определим пределы генеральной доли ( )

,

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля изделий высшего сорта во всей партии находится в пределах от 76 до 84%.

Пример 44

В выборке объемом 1000 единиц доля бракованных изделий составила 3%. Выборка случайная, бесповторная. Необходимо определить вероятность того, что во всей партии изделий (10 000 штук) доля бракованных изделий находится в пределах от 2,5 до 3,5%.

Решение

Предельная ошибка выборки равна

.

Рассчитаем среднюю ошибку

.

Коэффициент доверия равен

.

Вероятность, соответствующую данной величине коэффициента, находим по таблицам интегральной функции Лапласа. Она будет равна 0,683.

Пример 45

По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механический отбор) произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 5 мин при среднем квадратическом отклонении 2 мин.

Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 с?

Решение

По условию задачи известны:

объем выборки – ;

выборочная средняя – мин;

выборочное среднее квадратическое отклонение – мин;

предельная ошибка выборки – сек. мин;

; мин;

.

Затем по таблице интегральной функции Лапласа на основе значения определяется вероятность того, что ошибка не превысит заданной величины.

При вероятность .

Пример 46

На основании выборочного обследования в отделении связи города предполагается определить долю писем частных лиц в общем объеме отправляемой корреспонденции. Никаких предварительных данных об удельном весе этих писем в общей массе отправляемой корреспонденции не имеется.

Требуется определить численность выборки, если результаты выборки дать с точность до 1% и гарантировать это с вероятностью 0,95.

Решение

По условию задачи известны:

размер допустимой (предельной) ошибки – или 0,01;

принятая вероятность – ;

по таблице интегральной функции Лапласа при .

Необходимая численность выборки

.

Так как значение не дано, то следует ориентироваться на наибольшую дисперсию, которой соответствует значение .

.

Таким образом, чтобы с заданной точностью определить долю частных писем в общем объеме отправляемой корреспонденции, необходимо в порядке случайной выборки отобрать 9604 письма.

Пример 47

Определить, сколько электроламп из всей партии изделий следует подвергнуть обследованию в порядке случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 3% среднего веса спирали (средний вес составляет 42 мг). Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 6%, а вся партия состоит из 1220 электроламп.

Решение

По условию задачи известны:

выборочная средняя – мг;

предельная ошибка выборки – мг;

коэффициент доверия – при вероятности 0,954;

объем партии – электроламп;

коэффициент вариации – ;

Среднее квадратическое отклонение

.

Оптимальная численность выборки для повторного отбора

.

Таким образом, чтобы с заданной вероятность предельная ошибка не превышала 3% среднего значения, необходимо в порядке случайной выборки обследовать 16 электроламп.