4.8. Нечёткая логика предикатов

Предикаты вводятся для реализации нечеткой логики на множествах произвольной природы.

Определение. Рассмотрим некоторое множество объектов М. n - местным нечетким предикатом (x ⁿ ) =

(х ₁, ..., х _n) называется нечеткая функция, у которой переменные в наборе (х₁, ..., х_n ) принимают значения из М, а принимает на наборах (х₁, ..., х_n ) значения истинности из интервала [0,1].

Замечание. Функции принадлежности, введенные в теории нечетких множеств, являются примером одно-местного нечеткого предиката.

Пример 1. Пусть М={0,1,2,3}.

Зададим нечеткий предикат следующим образом: (х,у) = ху/9. В итоге получим: (0, у) = (х, 0)=0; (1, 1) = 1/9; (1, 2) = (2, 1)=2/9; (2, 2) = 4/9; (1, 3) = (3, 1) = 1/3; (3, 2 )= (2, 3) = 2/3; (3 ,3) = 1.

Рассмотрим введение кванторов. У обычных четких предикатов Р(x ⁿ ) выражения х_i Р(x ⁿ ), х_iР(x ⁿ ) в слу-

196

чае конечных четких множеств М означает функции от переменных {x ⁿ } cледующего вида:

х_i Р(x ⁿ )= & Р(х₁, ..., х_i ,...,х_n);

^{х i M}

х_iР(x ⁿ)=  Р(х₁, ..., х_i ,..., х_n).

^{х i M}

С учётом конкретного содержания нечетких операций умножения и сложения (которые сводятся к минимуму и максимуму), нечеткие кванторы можно определить сле-дующим образом.

Определение. Нечеткими кванторами и явля-ются логические символы, которые придают включающим их выражениям следующий смысл:

х_i (x ⁿ )=& (х ₁, ..., х_i ,..., х _n) = min (х ₁, ..., х_i ,..., х _n);

^{х i M х i M}

х_i (x ⁿ ) =  (х ₁, ..., х_i ,..., х _n) = max (х ₁, ..., х_i ,..., х _n).

^{х i M х i M}

В формулах все переменные, кроме х_i, постоянны.

Пример 2. Найти значения истинности формул х (х,1) и х ( х,1), содержащих нечеткие кванторы и предикат из Примера 1.

Решение.

х (х,1) = min [ (0,1); (1,1); (2,1); (3,1)]=min [0;1/9;2/9;1/3] = 0;

х ( х,1) = max [ (0,1); (1,1); (2,1); (3,1)]=max [0;1/9;2/9;1/3] = 1/3.

Все остальные термины нечетной логики предикатов могут быть введены по аналогии с четкими определениями.

Задачи.

1. Привести примеры нечётких предикатов на:

а) множестве простых чисел в интервале [0,1],

б) множестве арабских цифр,

в) множестве R натуральных чисел.

197