4. Теория нечётких множеств. Нечёткая логика

У обычных множеств можно чётко выяснить, принад-лежит ли объект им или нет. Но в ряде случаев, например, в так называемых “гуманистических” системах, чёткую гра-ницу провести нельзя. Аналогично, во многих случаях не-возможно однозначно оценить правильность высказыва-ний. В частности:

1) человеческие суждения по большинству вопросов в силу субъективности нельзя свести к однозначным “да” или “нет”,

2) показания приборов из-за ограниченной точности измерений зачастую не позволяют делать точные суждения о наличии или отсутствии событий и т.д.

Обычно чёткие решения нельзя принять из-за недо-статка информации об объекте либо при наличии проти-воречивой информации. Поэтому нечёткие множества и логические рассуждения используют, как правило, для сложных либо не до конца определённых объектов.

Сложности с машинной идентификацией реальных объектов окружающей среды, например, зрительных обра-зов, обусловлены во многом тем, что теоретическим фунда-ментом применяемых алгоритмов являются чёткие теория множеств и логика. Человек же, благодаря элементам нечёт-кого мышления, как правило, без труда справляется с по-добными задачами.

Само понятие чёткого числа, позволившее выделить математику в отдельную науку и способствовавшее её даль-нейшему развитию, в силу своей ограниченности не позво-ляет исследовать и формализовать нечёткие свойства чело-веческого мышления .

Основной задачей нечётких теорий является формали-зация данного типа мышления с целью последующего его

172

применения в автоматизированных системах.

Наряду с термином “нечёткие” в литературе встреча-ются также названия “расплывчатые”, “непрерывные”, ”раз-мытые”, ”бесконечнозначные” и другие его разновидности.

Алгебра нечётких множеств является одним из об-общений обычной алгебры множеств на случай контину-ального числа значений характеристической функции, а алгебра нечёткой логики – обобщением 2-значной алгебры (алгебры логики) на случай k = C.

4.1. Нечёткие множества. Основные понятия

Определение. Пусть X – произвольное непустое мно-жество. Множество называется нечётким, если каждый его элемент – это пара <μ_A(x), x>, в которой x  X, а μ_A (x) – число из интервала [ 0,1 ] , задающее степень принад-лежности элемента х к . Множество X называется носителем . Функция μ_A(x) называется функцией принад-лежности.

Замечание. Все чёткие множества можно представить как нечёткие с μ_A(x)=1 либо 0 на элементах из Х.

Пример. Допустим, группа из 4 преподавателей П₁, П₂, П₃, П₄ оценивает по десятибалльной шкале необходи-мость преподавания в рамках некоторой специальности дисциплин Д₁, Д₂, Д₃, Д₄, Д₅. Их индивидуальные оценки заданы в представленной ниже таблице:

	Д1	Д2	Д3	Д4	Д5
П1	8	6	9	10	7
П2	3	10	8	10	4
П3	9	8	10	10	4
П4	10	7	9	10	6

173

Поскольку по большинству предметов оценки разделились, требуется выразить общее мнение в виде нечеткого мно-жества.

Решение.

Представим средние оценки по каждому предмету следующим образом:

1) просуммируем индивидуальные оценки,

2) полученную сумму разделим на 40 баллов – максимально возможную величину.

В итоге для каждой дисциплины получим среднюю оценку, нормированную в интервале [0,1]. Искомое нечёт-кое множество дисциплин получаем, добавляя к каждой дисциплине данную оценку:

= {<0,75; Д₁>,<0,775; Д₂>,<0,9; Д₃>,<1; Д₄>,<0,525; Д₅>}.

Чёткое включение имеет место только для четвёртой дисциплины. По всем остальным дисциплинам включения нечёткие. Данный пример показывает, каким образом мож-но получить итоговые оценки при наличии расхождений в индивидуальных мнениях.

В общем случае для экспертов-участников группы применяют индивидуальные весовые коэффициенты. Не-смотря на субъективность таких оценок, во многих случаях решения принимаются именно на их основании, поскольку других критериев не существует.