34. Продуктивные матрицы в модели Леонтьева межотраслевого баланса. Критерий продуктивности. Примеры продуктивных и непродуктивных матриц.

Матрица прямых затрат модели Леонтьева называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора конечного выпуска найдётся неотрицательный вектор валового выпуска с данной матрицей прямых затрат.

Теорема.

Модель Леонтьева с неотрицательной матрицей А – продуктивна тогда и только тогда, когда существует неотрицательная матрица, обратная к матрице (Е – А).

35. Примеры составления задач на модель Леонтьева межотраслевого баланса.

36. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Характеристический многочлен матрицы и его свойства. Примеры.

П усть дана квадратная матрица А размера n на n. Собственным числом матрицы А называется такое число, для которого выполняется следующее условие:

П ри этом столбец называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу

Характеристическим многочленом матрицы А называется следующий многочлен:

Теорема:

П усть дана квадратная матрица А размера n х n и её характеристический многочлен

Тогда

Пример:

Дана матрица А. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

Решение:

37. Модель международной торговли. Условия бездефицитности торговли. Примеры.

Теорема.

Пусть А – структурная матрица торговли, а X – вектор бюджетов торгующих стран. Тогда условием бездефицитной торговли является следующее равенство:

АX=X

т.е. вектор X должен быть собственным вектором матрицы А для собственного числа 1.

Пример:

Дана структурная матрица торговли. Найти соотношения бюджетов торгующих стран при условии, что торговля будет бездефицитной. РЕШЕНИЕ: Находим собственные векторы структурной матрицы торговли для собственного числа, равного 1.

Из условия бездефицитности следует

38. Пример нахождения отношений бюджетов стран для сбалансированности их международной торговли.

По ходу дела подойдёт пример из предыдущего вопроса

Дана структурная матрица торговли. Найти соотношения бюджетов торгующих стран при условии, что торговля будет бездефицитной. РЕШЕНИЕ: Находим собственные векторы структурной матрицы торговли для собственного числа, равного 1.

Из условия бездефицитности следует

39. Определение и примеры векторных (линейных) пространств.

В екторным или линейным пространством V над полем F=(R) называют множество объектов V, в котором определено действие «сложения» элементов и действие «умножения» на элементы поля F, причем выполняются аксиомы ( )

Примеры:

Множество столбцов вещественных чисел высоты n (с операциями над столбцами, введенными ранее)

Множество всех матриц размера mxn (с операциями над матрицами, определенными ранее)

Множество всех многочленов от одной переменной с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на действительные числа:

Множество всех функций, непрерывных на отрезке [a,b] , с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на вещественные числа:

Множество направленных отрезков (векторов) на декартовой плоскости с операциями сложения векторов по «правилу параллелограмма» и умножения векторов на вещественные числа: