Матрицы

1. Определение и действия над матрицами. Простейшие свойства и примеры.

С уммой A+B матриц размера m*n и

называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B:

П роизведением числа и матрицы называется матрица , получающаяся из матрицы A умножением всех ее элементов на :

П ример:

П роизведением AB матрицы размера mхn и матрицы размера nхk называется матрица размера mхk , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы A и j-го столбца матрицы B:

П ример:

Простейшие свойства:

1. А+В = В+А

2. (A+B)+C = A+(B+C)

3. λ(A+B) = λA + λB

4. A*(B+C) = A*B + A*C

5. (A+B)*C = A*C + B*C

6. λ(A*B)=(λA)*B=A*(λB)

7. А*(В*С)=(А*В)*С - ассоциативность

2. Ассоциативность умножения матриц. Примеры.

Пусть А , В и С – три матрицы, для которых произведения АВ и ВС имеют смысл. Тогда произведения АВ и ВС имеют также смысл, и имеет место равенство:

(АВ)*С=А*(ВС)

Пример:

3. Некоммутативность умножения матриц. Примеры.

Матрицы называются некоммутативными, если

А*В ≠ В*А

Примеры:

4. Значение многочлена от матрицы. Простейшие свойства и примеры вычислений.

Если А – квадратная матрица n-го порядка и

многочлен m-й степени с вещественными коэффициентами, то выражение

где Е – единичная матрица порядка n, называется многочленом от матрицы А

Свойства:

• Если f(x) + g(x) = q(x), то f(A) + g(A) = q(A)

• Если f(x) * g(x) = q(x), то f(A) * g(A) = q(A)

• f(A) * g(A) = g(A) * f(A)

5. Транспонирование матрицы. Единичная матрица. Простейшие свойства. Примеры.

Замена строк матрицы на её столбцы, а столбцов – на строки называется транспонированием матрицы.

С войства:

Пример:

Единичная матрица – Е квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные – нули.

Свойство: А*E=E*A=A

Пример:

6. Определители 2-го и 3-го порядков. Способы вычисления. Примеры.

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (определителем матрицы А), называется число

Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице A , называется число

Способы вычисления:

Правило Саррюса

Метод приведения к треугольному виду

Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду.

Определитель полученной матрицы вычисляется как произведение диагональных элементов:

М етод понижения порядка

Минором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Справедливо следующее равенство

Разложение определителя по i-ой строке

Метод рекуррентных соотношений

Метод позволяет выразить данный определитель, преобразуя его (например, разлагая по строке или столбцу), через определитель того же вида, но более низкого порядка.