2.2. Модель Неймана

Рассмотрим модель Неймана, лежащую в основе многих, более сложных моделей.

Модель Неймана задается конечным набором производственных процессов вида , , где вектор задает коэффициенты производственных затрат, вектор – коэффициенты запасов (выпуска) товаров.

Производственные процессы называется базисными. Обозначим , . называется матрицей затрат, – матрицей выпуска. Базисные производственные процессы можно использовать для составления других, более сложных.

Будем говорить, что каждый неотрицательный вектор задает вектор интенсивностей, при котором -ый базисный процесс участвует в производстве с интенсивностью . Тогда новый процесс будет описываться векторами затрат-выпуска .

Пусть – множество возможных производственных процессов, в которых – вектор затрат товаров, – вектор выпуска.

Рассмотрим периодов времени. В каждый из периодов времени применяется один из производственных процессов множества , характеризующийся вектором интенсивностей . Предположим, что модель Неймана замкнута, т.е. мы можем тратить в процессе производства те и только те товары, которые были произведены в предыдущий период, т.е. в любой момент времени выполняется неравенство

. 808\* MERGEFORMAT (.)

Вектор запасов , имеющихся к началу 1-го периода, будем считать заданным.

Если поставить задачу о достижении в момент времени оптимального состояния, задаваемом некоторой линейной целевой функцией, то получится задача вида 07.

По аналогии с факторными ценами в модели Леонтьева введем цены в модели Неймана.

Пусть – цена одной единицы -го продукта в момент времени . Величина выражает доход процесса за период времени от до (заметим, что исходные материалы для процесса закупаются в начале периода ( ), а конечная продукция оценивается по ценам момента времени ).

Основные предположения модели Неймана:

, 909\* MERGEFORMAT (.)

т.е. общая стоимость использованной продукции равна общей стоимости выпущенной продукции (говорят, что общая сумма денег не меняется и постоянно находится в обращении).

, 10010\* MERGEFORMAT (.)

т.е. в начале -го периода вся сумма денег, вырученная от продажи продукции в предыдущем цикле, идет на организацию производства в следующем периоде.

Условие 010 можно записать в виде . Используя 08, получаем, что при условие 010 возможно только в случае, когда для всех выполняется . Если , то .

Аналогично, 09 запишется как . Выражение в скобках есть вектор доходов всех процессов модели. Обычно предполагают, что ни один из процессов не приносит положительного дохода, поэтому получаем, что для всех выполняется . Следовательно, если в момент времени доход -го процесса отрицателен ( ), то интенсивность использования такого процесса . Таким образом, условие неположительности доходов всех производственных процессов обеспечивает отсутствие «паразитизма», т.е. в этом случае отрицательный доход одного из процессов не может покрываться положительным доходом другого процесса, поэтому компенсируется неиспользованием такого процесса.

Определение 2.1. Траектория интенсивностей называется стационарной, если существует : , , или .

Стационарные траектории являются одними из самых простых. При такой траектории интенсивность использования каждого из производственных процессов растет с одинаковым темпом независимо от момента времени.

Последовательность будет являться стационарной траекторией интенсивностей тогда и только тогда, когда .

Определение 2.2. Последовательность , называется траекторией цен. Траектория цен называется стационарной, если для всех выполняется равенство , или .

Последовательность задает стационарную траекторию цен тогда и только тогда, когда .

Для последовательностей и условия 09 и 010 принимают вид и . Естественно считать, что , поэтому получаем, что .

Определение 2.3. Говорят, что модель Неймана находится в состоянии невырожденного динамического равновесия, с характеристиками , , , если

1)  ; 11011\* MERGEFORMAT (.)

2)  ; 12012\* MERGEFORMAT (.)

3)  (невырожденность). 13013\* MERGEFORMAT (.)

При этом множество называется лучом Неймана.