36 Правило Лопиталя

 Теорема (Правило Лопиталя)   Пусть функции и непрерывны в некоторой окрестности точки и , то есть и при . Предположим, что при функции и имеют производные и , причём существует предел отношения этих производных:

Тогда предел отношения самих функций и тоже существует и равен тому же числу :

        Доказательство.   Заметим, что из условия следует, что оба односторонних предела также равны :

и

Пусть , . По теореме Коши, применённой к отрезку , получим тогда, с учётом того, что ,

где . Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при :

так как, очевидно, при имеем также . Теперь возьмём точку , и применим теорему Коши к отрезку . Получим :

где . Переходя к пределу при , получаем :

так как при имеем .

Итак, оба односторонних предела отношения равны . На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что :

аналогичное утверждение верно также для предела справа.     

37.Формула Тейлора для многочлена и функции общего вида.

Рассмотрим многочлен степени n: P_n(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ (a₀, a₁, ..., a_n) – некоторые постоянные, наз. Коэффициентами многочлена. Пусть x₀ – заданное число. Попытаемся разложить этот многочлен по степеням разности (x-x₀), т.е. представить его в виде:

P_n(x)=b₀+b₁(x-x₀)+...+b_n(x-x₀)ⁿ . Один из возможных способов следущий: запишем x как (x-x₀)+x₀ :

P_n(x)=P_n[(x-x₀)+x₀]=a₀+a₁[(x-x₀)+x₀]+a₂[(x-x₀)+x₀]²+...+a_n[(x-x₀)+x₀]ⁿ . Теперь можно возвести [(x-x₀)+x₀] в соответствующие степени и привести подобные члены, содержащие (x-x₀)⁰, (x-x₀)¹,..., (x-x₀)ⁿ. Тем самым и получим многочлен Тейлора.

38.Разложения Маклорена для 5 основных элементарных функций.

Формула Тейлора с центром в точке x₀=0 получила название формулы Маклорена. Применим формулу К элементарным функциям:

e^x, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^a .

1. F(x)=e^x . Производные F(x) всех порядков равны e^x : F^k(x)=e^x, k=1,2,..., поэтому F^k(0)=1, k=1,2,... и формула Маклорена выглядит так: e^x = F(0) + (F’(0)/1!)x + ... + (Fⁿ(0)/n!)xⁿ + 0(xⁿ) = 1 + x + x²/2! + xⁿ/n! + 0(xⁿ), x -> 0. Аналогично для остальных:

2. Sin x = x - x³/3! + x⁵/5! + ... + (-1)ⁿ (x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!) + 0(x²ⁿ⁺²), x -> 0.

3. Cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! + ... + (-1)ⁿ (x²ⁿ/(2n)!) + 0(x²ⁿ⁺¹), x -> 0.

4. Ln(1+x)= x – x²/2 + x³/3 + ... + (-1)^n-1 xⁿ/n + 0(xⁿ), x -> 0.

5. (1+x)^a = 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x² + (a(a-1)(a-2)/3!)x³ + (a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/n!)/xⁿ + 0(xⁿ), x -> 0.

39 Условия постоянства и монотонности функции на интервале. Необходимые и достаточные условия локального экстремума.

Условия постоянства и монотонности функции на интервале. Дифференциальное исчисление позволяет эффективно исследовать поведение функций, в частности, находить промежутки, на которых данная функция постоянна, возрастает либо убывает.

Теорема. Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) положительную (отрицательную, равную нулю) производную, то на этом интервале функция возрастает (убывает, постоянна).

Доказательство. Пусть x1 и x2 – некоторые точки интервала (a, b), причем x2>x1. Применяя формулу Лагранжа к функции у =f(x) на отрезке [x1,x2], можно записать

F(x2) – f(x1) = f ’(c) (x2-x1), где c – это некоторая точка интервала (x1, x2).

Если f ’(c) > 0 [<0,=0], то f(x2)>f(x1) [ f(x2)<f(x1), f(x2)=f(x1) ] и функция y=f(x) возрастает (убывает, постоянна).

Необходимое и достаточное условия локального экстремума. Если функция дифференцируема в точке C и имеет в этой точке экстремум (минимум или максимум), то производная в точке равна нулю. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, мы будем называть стационарными. Если снять требование дифференцируемости, то необходимое условие экстремума можно сформулировать и так: в точке экстремума производная либо равно нулю, либо не существует.

Достаточные условия сформулируем в виде двух теорем.

Теорема1. Первое достаточное условие экстремума: если при переходе через стационарную точку C производная f ’(x) меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума, с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство. Пусть точка X лежит в той окрестности точки C, где знак f ’(x) определяется условием теоремы. По теореме Лагранжа для отрезка [c, x] (или [x, c], если x<c)

F(с) – f(x)= f ’( )(c-x), где лежит между C и X

Рассмотрим два случая при X>C и X<C.

При переходе через точку C производная f ’(x) изменяет знак с минуса на плюс, т.е.

f ’( )<0 при X<C и f ’( )>0 при X>C.

Очевидно, что F(с) – f(x)= f ’( )(c-x)<0, X<C

(так как f ’( )<0, (C-X)>0); при X>C

F(с) – f(x)= f ’( )(c-x)<0 (так как f ’( )<0, (C-X)<0).

Итак, и при X<C и при X>C

F(c)- f(x)<0, а это означает, что в точке C имеет место минимум. Аналогично доказывается и утверждение теоремы, касающейся максимума.

Теорема2. Второе достаточное условие экстремума. Если в стационарной точке C функции y=f(x) существует f ’’ (c)>0 (<0), то точка является точкой минимума (максимума).

Доказательство. Поскольку f ’(c) =0, f ’’(c)>0 (<0), то f ’(x) проходит через нуль возрастая (убывая), т.е. меняет в точке C знак с – на + (с + на -- ), и по теореме №1 точка C является точкой минимума (максимума).