1.Ограниченные и неограниченные множества. То же для последовательностей. Бесконечно большая и неограниченная последовательности.

Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует число b, которого не превосходят все элементы X. Таким образом X ограничено сверху <=> ∃ b∈ R∀ x∈ X : x≤b . Число b называется верхней гранью множества X.

Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует число a, которое не превосходит любого X. Таким образом, X ограничено снизу <=> ∃ a∈ R∀ x ∈ X : a≤x . Число a называется нижней гранью множества X.

Множество X называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, т.е. Если cуществуют такие числа a и b, что для любого элемента х множества Х выполняется двойное неравенство: a≤x≤b .

На логическом языке: x ограничено <=> ∃ a ,b∈ R∀ x ∈ X :a≤x≤b .

Эквивалентное определение. Множество X называется ограниченным, если существует такое число c≥0 , что для любого элемента x множества выполняется неравенство: ∣x ∣≤c .

Множества, не являющиеся ограниченными сверху, называется неограниченнми сверху.

Эквивалентное определение. Множество X называется неограниченным сверху, если для любого числа b найдется такой элемент x множества X, что выполнено неравентсво x>ию

Последовательность {Xn} называется ограниченной, если существует такое число c>0, что для любых n выполняется неравенство ∣Xn∣≤c .

Последовательность {Xn} называют бесконечно большой, если каково бы ни было число E>0, найдется номер N, начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству ∣Xn∣>E .

2. Точные грани множеств. Теорема о существовании точных граней (без

доказательства).

Если любой элемент х множества Х удовлетворяет неравенству x≤b , то b называется верхней гранью множества Х. Очевидно,если верхняя грань существует, то их бесконечно много: любое число b', большее b, также является верхней гранью множества X, т.к., если выполено неравенство x≤b , то неравенство x≤b' также выполнено. Наименьшая из всех верхних граней носит специальное название — точная верхняя грань.

Точной верхней гранью числового множества Х называется наименьшая из всех верхних граней этого множества.

Эквивалентное определение.Число M называется точной верхней гранью множества X, если

выполнены следующие условия: 1) M является верхней гранью Х; 2) каково бы ни было положительно число є , в множестве Х найдется элемент х', больший M- є . Точная верхняя грань X имеет спец. обозначение: M=sup X.

M=sup X <=> { 1) ∀ x ∈ X : x≤M

2) ∀є>0∃ x ' ∈ X : x '>M − є.

Точной нижней гранью числового множества X называется наибольшая из всех нижних граней этого множества.

Эквивалентное определение. Число m называется точной нижней гранью множества Х, если выполнены следующие условия: 1) m является нижней гранью X; 2) каково бы ни было положительное є >0 , среди элементов множества Х найдется элемент x, меньший, чем m+ є

. Точная нижняя грань имеет спец. обозначение: m=inf X.

M=inf X <=>{ 1)∀ x∈ X : x≥M

2) ∀є>0∃ x ' ∈ X : x '<m+ є

Теорема о существовании точных граней у ограниченных числовых множеств.

Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Геометрическая интерпретация.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x принадлежит N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n² можно записать:

y₁ = 1² = 1;

y₂ = 2² = 4;

y₃ = 3² = 9;…y_n = n²;…

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу  a  при увеличении порядкового номера  n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что  a  есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число N,  что начиная с  n > N  все члены последовательности расположены внутри интервала ( a + ;a - ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n  | M для всех  n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

4. =0 - доказать, используя определения предела.

Зададим произвольное є >0 и убедимся в том, что существует номер N, начиная с которого модуль разности между Xn и a меньше ε, т.е. |1/n – 0|< ε. Для этого определим, какие n удовлетворяют последнему неравенству: |1/n|< ε <=> 1/n<ε <=> n>1/ε. Итак, получается, что если номер элемента больше, чем 1/ε, то модуль разности |1/n – 0| между Xn и предполагаемым пределом меньше ε. Поэтому в качестве номера N, начиная с которого выполнено неравенство |Xn – a |<ε, можно взять любой, больший числа 1/ε, например N=[1/ε]+1 нельзя; здесь проделано вот что: вычислена целая часть [1/ε] числа ε, т.е. отброшены знаки после запятой, а затем добавлена 1). Итак, мы доказали, что

∀ε>0∃ N=([1/ ε]+1)∀ n≥N :∣ 1/n−0∣<ε, т.е. lim _n→∞1/n=0 .

5. Теорема о единственности предела.

Если последова­тельность имеет предел, то он единственный.

Доказательство проведем методом "от противного". Пусть

последовательность имеет два предела и ,

Выберем числа и настолько малыми, что интервалы

и не пересекаются.

Так как , то вне интервала

содержится конечное число элементов последовательности, но тогда внутри

тоже конечное число элементов, что невозможно, так как

(ведь если - предел, то в любой окрестности элементов

бесконечно много согласно тому же замечанию). Противоречие дока­зывает теорему. Итак, предел единственен.

6.Ограниченная последовательность.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число с > 0, что для любых n выполняется неравенство

Теорема об ограниченности сходящейся последователь­ности

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство . Пусть последовательность сходится к a.

Зададим и выберем N так, что для всех n N (это возможно в силу определения предела последовательности). Теперь рассмотрим разность . Используя неравенство для модулей, имеем , что , в свою очередь, меньше для n N . Итак, мы доказали, что < 1 или < , n=N, N+1,…., т.е. последовательность ограничена, начиная с номера N . Оста­лись нерассмотренными первые N-1 элементов, но это множест­во, как и всякое конечное, ограничено:

Пусть с - наибольшее из чисел {|a|+1, |x₁|,|x₂|,….,

Тогда неравенство |x_n| < с выполнено для всех n (при n.= 1,2,... ,N-1). Итак .