- •Глава 1
- •1. Случайные события
- •1.1. Некоторые формулы комбинаторики
- •1.2. Классическое определение вероятности. Относительная
- •1.2. Теоремы сложения и
- •1.3. Формула полной вероятности
- •Тогда нужная вероятность будет
- •1.4. Повторные независимые
- •1.5. Теоремы Муавра-Лапласа.
- •II. Случайные величины и их
- •2.1. Дискретные случайные величины
- •Совместный закон распределения величин и можно задавать таблицей
- •Используя формулу умножения вероятностей, найдем,
- •Воспользуемся совместным законом распределения, полученным в задаче 1.
- •В частности, из свойств дисперсии следует, что
- •Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
- •Совместный закон распределения был найден ранее
- •6. Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины. Этот закон определяется формулой Пуассона
- •Можно показать, что для распределения Пуассона
- •2.2. Непрерывные случайные
- •По определению
- •Воспользуемся формулой .
- •Найдем функцию распределения .
Совместный закон распределения величин и можно задавать таблицей
(X,Y) |
(x1, y1) |
… |
(x1, ym) |
(x2, y1) |
… |
(xn, y1) |
… |
(xn, ym) |
P |
p11 |
… |
p1m |
p21 |
… |
pn1 |
… |
pnm |
Или в виде двумерной таблицы
Y \ X |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
Y1 |
p(x1, y1) |
p(x2, y1) |
… |
p(xi, y1) |
… |
p(xn, y1) |
Y2 |
p(x1, y2) |
p(x2, y2) |
… |
p(xi, y2) |
… |
p(xn, y2) |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
yj |
p(x1, yj) |
p(x2, yj) |
… |
p(xi, yj) |
… |
p(xn, yj) |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
ym |
p(x1, ym) |
p(x2, ym) |
… |
p(xi, ym) |
… |
p(xn, ym) |
Примеры. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2.
Один за другим вынимают два шара. Пусть - это номер на первом шаре, а – - номер на втором шаре. Найти совместный закон распределения величин
Используя формулу умножения вероятностей, найдем,
,
Запишем совместный закон распределения в виде таблицы
(X,Y) |
(1,1) |
(1,2) |
(2,1) |
(2,2) |
P |
1/10 |
3/10 |
3/10 |
3/10 |
Или
Y \ X |
x1= 1 |
x2 = 2 |
y1 = 1 |
1/10 |
3/10 |
y2 = 2 |
3/10 |
3/10 |
◄
Свойства вероятностей
Пример. Найти законы распределения случайных величин и , если совместный закон распределения случайной величины задан таблицей
Y \ X |
x1 |
x2 |
x3 |
y1 |
0.1 |
0.3 |
0.2 |
y2 |
0.06 |
0.18 |
0.16 |
Используем свойства вероятностей совместного распределения 1 и 2.
Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений
X : P(x1) = 0.1 + 0.06 = 0.16; P(x2) = 0.3 + 0.18 = 0.48; P(x3) = 0.2 + 0.16 = 0.36;
Контроль: 0.16 + 0.48 + 0.36 = 1.
Запишем закон распределения в виде таблицы
X |
x1 |
x2 |
x3 |
P |
0.16 |
0.48 |
0.36 |
Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y : P(y1) = 0.1 + 0.3 + 0.2 = 0.6; P(y2) = 0.06 + 0.18 + 0.16 = 0.4;
Контроль: 0.6 + 0.4 = 1.
Запишем закон распределения в виде таблицы
-
Y
y1
y2
P
0.6
0.4
◄
Дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар выполняются соотношения
.
Замечание. Если и две дискретные случайные величины, то для любой функции двух переменных величина тоже является дискретной случайной величиной. Эта величина принимает значения с вероятностями , если функция взаимно однозначна . Если же значения совпадают для различных пар с величиной , то принимает общее значение с вероятностью, равной сумме вероятностей , отвечающих всем таким , для которых .
Примеры.
1.Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями
-
X
1
2
P
0.6
0.4
-
Y
3
4
P
0.2
0.8
Найти распределение случайной величины .
Найдем все возможные пары , вероятности их появления по теореме умножения вероятностей независимых случайных величин и соответствующие этой паре значения величины
,
,
,
,
,
,
.
Таким образом , случайная величина принимает значения 4, 5, 6 со следующими вероятностями
,
,
.
Запишем это распределение в виде таблицы
Z |
4 |
5 |
6 |
P |
0.12 |
0.56 |
0.32 |
Контроль: 0.12 + 0.56 + 0.32 = 1. ◄
2. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2.
Один за другим вынимают два шара. Пусть - это номер на первом шаре, а - номер на втором шаре. Найти закон распределения случайной величины, равной
а) разности цифр на первом и втором шарах ,
б) произведению цифр на шарах .