- •Глава 1
- •1. Случайные события
- •1.1. Некоторые формулы комбинаторики
- •1.2. Классическое определение вероятности. Относительная
- •1.2. Теоремы сложения и
- •1.3. Формула полной вероятности
- •Тогда нужная вероятность будет
- •1.4. Повторные независимые
- •1.5. Теоремы Муавра-Лапласа.
- •II. Случайные величины и их
- •2.1. Дискретные случайные величины
- •Совместный закон распределения величин и можно задавать таблицей
- •Используя формулу умножения вероятностей, найдем,
- •Воспользуемся совместным законом распределения, полученным в задаче 1.
- •В частности, из свойств дисперсии следует, что
- •Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
- •Совместный закон распределения был найден ранее
- •6. Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины. Этот закон определяется формулой Пуассона
- •Можно показать, что для распределения Пуассона
- •2.2. Непрерывные случайные
- •По определению
- •Воспользуемся формулой .
- •Найдем функцию распределения .
1.2. Теоремы сложения и
умножения вероятностей
Теоремы сложения и умножения вероятностей являются основными, так как на них основываются все дальнейшие положения теории вероятностей. Указанные теоремы позволяют по вероятностям одних событий вычислять вероятности других. В следствии этого они часто применяются для решения различных задач. Следует усвоить методику использования теорем при решении задач.
Суммой событий и называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из событий и , а произведением этих событий — событие, состоящее в том, что произошли оба данных события.
Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложения вероятностей:
Если события и несовместны, то есть не могут произойти одновременно, то вероятность их произведения равна нулю, и теорема сложения приобретает более простой вид:
Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения вероятностей:
где — так называемая условная вероятность события , то есть вероятность при условии, что произошло. Если осуществление события не изменяет вероятности события , то и называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей:
Заметим, что при решении задач теоремы сложения и умножения обычно используются совместно.
Примеры.
1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или черный; б) белый, черный или синий.
Обозначим следующие события:
Б – вынули белый шар, ;
Ч – вынули черный шар, ;
С – вынули синий шар, ;
К – вынули красный шар, .
Тогда искомые вероятности будут:
а) .
б)
или . ◄
2. На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.
Рассмотрим два способа решения задачи.
Первый способ. Пусть события А – хотя бы один учебник в переплете;
В – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета;
С – два в переплете, один без переплета;
D – все три учебника в переплете.
Очевидно, А=В+С+D. Найдем вероятности событий В, С, и D.
, , .
Тогда
.
Второй способ. Вновь А – хотя бы один учебник в переплете;
- ни один из взятых учебников не имеет переплета.
Так как события А и противоположные, то
. ◄
3. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятности следующих событий:
— оба попали в цель;
— в цель попал хотя бы один.
Назовем событиями и попадание в мишень соответственно первого и второго стрелка и отметим, что и являются событиями совместными, но независимыми (иными словами, в мишень могут попасть оба стрелка, а вероятность попадания каждого не зависит от результата другого). Событие представляет собой произведение событий и поэтому
Событие является суммой и для определения его вероятности воспользуемся общим видом теоремы сложения:
◄
4. В первом ящике 2 белых и 7 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика, ;
- вынули черный шар из первого ящика, ;
В – белый шар из второго ящика, ;
- черный шар из второго ящика, .
Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или . По теореме об умножении вероятностей , . Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
. ◄
5. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха; в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.
Пусть А – попадание первого стрелка, Р(А)=0,8; В – попадание второго стрелка, Р(В)=0,9. Тогда - промах первого, ; - промах второго, . Найдем нужные вероятности.
а) АВ – двойное попадание, Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,72.
б) - двойной промах, .
в) А+В – хотя бы одно попадание,
.
г) - одно попадание,
. ◄
6. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.
А – формула содержится в первом справочнике;
В – формула содержится во втором справочнике;
С – формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
1.
=0,6·0,3·0,2+0,4·0,7·0,2+0,4·0,3·0,8=0,188.
2. .
3. P(АВС)=0,6·0,7·0,8=0,336. ◄
7. Из 10 деталей 7 – стандартные. Наудачу берут 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) не более одной нестандартной; б) не более двух нестандартных.
а) Обозначим события А – среди взятых 6 деталей нестандартных нет;
В – в 6 выбранных деталях одна нестандартная. Тогда А+В – среди 6 деталей не более одной нестандартной. Найдем Р(А+В). Заметим, что
,
.
Откуда
.
б) Пусть теперь событие А – в шести взятых деталях не более двух нестандартных. Тогда - в выбранных деталях более двух нестандартных, т.е. три.
.
. ◄
8. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?
1-й способ. Рассмотрим события: - появление шестерки на первой кости ( ); - появление шестерки на второй кости ( ). События и - совместны и независимы, следовательно,
.
2-й способ. Рассмотрим противоположные события: и . Из свойств вероятности и алгебры событий следует
.
Следовательно,
. ◄
9. В классе 32 ученика.12 из них носят очки. У 10 – пятерка по русскому языку, из них пятеро носит очки. Определить зависит ли между собой события: ученик носит очки и у ученика пятерка по поведению.
Пусть событие ={ученик носит очки}, событие ={у ученика пятерка по русскому языку}.
Тогда .
Так как , то эти события не независимы. ◄