- •Глава 1
- •1. Случайные события
- •1.1. Некоторые формулы комбинаторики
- •1.2. Классическое определение вероятности. Относительная
- •1.2. Теоремы сложения и
- •1.3. Формула полной вероятности
- •Тогда нужная вероятность будет
- •1.4. Повторные независимые
- •1.5. Теоремы Муавра-Лапласа.
- •II. Случайные величины и их
- •2.1. Дискретные случайные величины
- •Совместный закон распределения величин и можно задавать таблицей
- •Используя формулу умножения вероятностей, найдем,
- •Воспользуемся совместным законом распределения, полученным в задаче 1.
- •В частности, из свойств дисперсии следует, что
- •Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
- •Совместный закон распределения был найден ранее
- •6. Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины. Этот закон определяется формулой Пуассона
- •Можно показать, что для распределения Пуассона
- •2.2. Непрерывные случайные
- •По определению
- •Воспользуемся формулой .
- •Найдем функцию распределения .
6. Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины. Этот закон определяется формулой Пуассона
, где λ=np.
Случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях при большом n и малой вероятности р имеет распределение Пуассона
Х |
0 |
1 |
2 |
… |
n |
Р |
|
|
|
… |
|
Можно показать, что для распределения Пуассона
M[X]= D[X]=λ=np.
2.2. Непрерывные случайные
величины
1. Функция распределения. Для непрерывной случайной величины теряет смысл понятие вероятности каждого конкретного значения, поскольку таких значений бесконечно много, и из условия, что сумма вероятностей всех значений равна 1, следует, что вероятность каждого фиксированного значения равна нулю. Поэтому основными характеристиками, описывающими поведение непрерывной случайной величины, являются функция распределения (интегральная функция распределения) и плотность распределения вероятностей (плотность вероятности, дифференциальная функция распределения).
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, заданную а некотором интервале (а, b). Закон распределения вероятностей для такой величины должен позволять находить вероятность попадания ее значения в любой интервал (х1, х2).
Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. .
Функция распределения обладает следующими свойствами:
Как любая вероятность .
F(x) – неубывающая функция, т.е. если х1< х2, то F(x1)≤ F(x2).
.
Р(Х= x1)=0.
Если все возможные значения случайной величины Х находятся на интервале (а, b), то F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при .
, .
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения: .
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х обладает свойствами:
f(x)≥0.
.
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения случайной величины .
.
График функции называют кривой распределения.
Примеры.
1. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти плотность распределения этой случайной величины и вероятность попадания ее в интервал (1; 2,5).
По определению
Требуемая вероятность будет
. ◄
2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти функцию распределения этой величины.
Воспользуемся формулой .
Если х≤1, то f(x)=0, следовательно, .
Если 1<x≤2, то
.
Если х>2, то
.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
◄
3. Составить функцию распределения F(x) дискретной случайной величины Х с законом распределения:
Х |
2 |
4 |
7 |
Р |
0,5 |
0,2 |
0,3 |
Если х≤2, то F(x)=0, так как значений меньших 2 величина Х не принимает. Поэтому при х≤2 F(x)=Р(Х<x)=0.
Если 2<x≤4, то F(x)=0,5, так как Х может принимать значение 2 с вероятностью 0,5.
Если 4<x≤7, то F(x)= Р(Х<x)= Р(Х=2)+ Р(Х=4)=0,5+0,2=0,7 (по теореме сложения вероятностей несовместных событий).
Если х>7, то F(x)=1, так как событие Х≤7 достоверное.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
◄
2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Аналогично тому, как это было сделано для дискретной случайной величины, определим числовые характеристики непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x).
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется выражение
.
Если случайная величина Х может принимать значения только на конечном отрезке [a, b], то .
Дисперсия непрерывной случайной величины Х определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
Все свойства математического ожидания и дисперсии, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин
Среднеквадратичным отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии
.
Значение случайной величины Х, при котором плотность распределения f(x) имеет наибольшее значение называется модой М0[X].
Медианой Ме[X] непрерывной случайной величины Х, называют ее значение, определяемой равенством
или
.
Пример. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины Х.
Воспользуемся определениями.
.
.
.
. ◄
Пример. Плотность вероятности случайной величины имеет вид:
Найти:
1) Из условия нормированности плотности вероятности следует, что В нашем случае
откуда
2) Связь между и задается формулой
Поэтому при
при
а для
Cледовательно,
◄
3 . Закон равномерного распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение вероятностей если ее плотность распределения задается следующим образом:
Найдем значение с. По свойству плотностей распределения получаем
,
следовательно, и
Так как , то промежуток [a, b], на котором имеет место равномерное распределение, обязательно конечен.
Определим вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (α, β).
.
Итак, искомая вероятность
,
т.е. вероятность попадания Х в интервал зависит только от длины этого интервала и не зависит от значений величины Х. При равномерном распределении случайной величины Х вероятности попадания Х в промежутки равной длины одинаковы.