Слау. Определители. Матрицы

СЛАУ(Системы Линейных Алгебраических Уравнений) – система равенств

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a₁_nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a₂_nx_n=b₂

…………………………………………..

a_m₁x₁+a_m₂x₂+…+a_mnx_n=b_m

в которой a_ij, b_i Є R, x_j Є R

1≤ i ≤m , 1≤ j ≤n

носит название СЛАУ, содержащих n-неизвестных (x₁…x_n) и состоящих из m уравнений. При этом a_ij – коэффициент, находящийся в i-строке и j-столбце, b_i – коэффициент свободный член.

Решением СЛАУ называется всякий упорядоченный набор чисел, в общем случае вещественных α=( α1, α2,....., αn) αj R, при подстановке которых в уравнение системы вместо соответствующих неизвестных, каждое уравнение системы становится верным числовым равенством (тождеством).

Система называется совместной, если множество ее решений не пусто, и несовместной в противном случае.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной, и неопределенной в противном случае.

коэффициенты. Неизвестные

. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ……+ a_1nx_n = b₁} a_ij, b_i – коэффициенты (действ. числа)

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …... + a_2nx_n = b₂} (1) a_ij – коэф. при неизвестных x_j(R или С) 1≤i≤m, 1≤j≤n.

……………………. ...} m – число ур-ний, n – число неизвестных.

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m}

Расширенной матрицей системы называется матрица Ā системы, дополненная столбцом свободных членов. (?)

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Или Ax=B

Системы СЛАУ 1 и 2 с одним и тем же числом неизвестных n называются равносильными (эквивалентными), если их множество решений совпадают.

Элементарные преобразования СЛАУ:

1. Перемена местами уравнений.

2. Умножение какого-либо уравнения на любое число, ≠0.

3. Прибавление к какому-либо уравнению другое уравнение, предварительно умноженное на любое число.

4. Добавление (отбрасывание) уравнения-тождества 0=0

Теорема

В результате элементарных преобразований СЛАУ приводит к новой СЛАУ равносильной исходной.

Метод гаусса(пошагово)

Версия1

Дана СЛАУ . можно считать, что коэф. При х1 неравен 0 в 1-м уравнении.

Шаг 1.

Неизвестное Х1 исключается из всех уравнений, кроме 1-го.

Шаг2 .

Повторение шага 1, но применительно к остальным уравнениям без 1-го и без неизвестного x1; исключаем x2

Возможны 3 исхода после n шагов

1. 0=b – противоречие. Система несовметима

2. до квадратного уравнения. Anxn=bn

3. система приводится к виду трапеции.

Версия2

1. Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

Матричная запись метода Гаусса.

Шаг. Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

   к ступенчатому виду

       с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

-перестановка строк;

-умножение строки на число, отличное от нуля;

-сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

Шаг. Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица , последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

Алгоритмы

1)Алгоритм основан на след. фактах и понятиях:

1) на понятии элементарного преобразования СЛАУ

2) на теореме о том, что всякое элементарное преобразование переводит исходное СЛАУ к новой СЛАУ эквивалентной(равносильной) системе.

Замечание:

1) Элементарные преобразования:

а) перемена местами уравнений в системе.

б) Умножение любого уравнения системы на какое угодно число, отличное от нуля.

в) Прибавление к какому либо уравнению системы другого уравнения этой же системы предварительно умноженного на любое число.

г) Добавление к системе отбрасывание от нее тождества вида 0 = 0.

2) Две СЛАУ с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, если множество их решений совпадают.

Алгоритм:

1) Не нарушая общности будем считать, что нейзвестныое x1 входит в 1-ре ур. сис. (по существу), т.е с ненулевым коэфицентом (а11 ǂ0). Счиатя это предположение выполненным: исключаем неизвестное x1 из всех уравнений системы, кроме 1-ого.

неизвестное x1 из 2-ого уравнения:

Первое уравнение умножаем и результат прибавляем по 2-ому =˃

Пояснение: неизвестное х1 исключено из всех, кроме 1-ого уравнения системы. При этом число уравнений может уменьшится или остаться неизменным.

г) Повторение 1-ого шага, но в системе:

Оказывается при этом, в результате применения метода Гауса, возможны 3 исхода, к которым приводит этот метод:

1) заключается в том, что на каком-то шаге получается уравнение вида 0=b (≠0) - нет решений.

2) Матрица системы приводится к треугольному виду (к верхтреугольному) к такому, что на главной диагонали нет нулей. В этом случае получается единственное решение.

3)матрица системы приводится к виду трапеции

В этом случае системы имеет бесконечное число решений (множество решений)

Определитель (детерминант)

Существует очень важная характеристика квадратичной матрицы - определитель(детерминант)

Определитель квадратичной матрицы порядка n - это число, которое по некоторому правилу ставится в соответствие каждой квадратной матрице (функция матрицы)

Определитель малых порядков т.е порядка n, для n=1,2,3

1) n=1 - определитель матрицы первого порядка.

2) Второго порядка: А= 11 22- 12 21

Теорема крамера (с доказательством)

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x₁ , x₂ , ..., x_n, определяемое формулами Крамера

Видно, что k это определитель, получающийся из заменой столбца с номером k столбцом свободных членов.

X_k = _k / , k=1,2, ..., n. – Формула Крамера

Если определитель   0 и система совместна, то она имеет единственное решение, находящиеся по формуле Крамера.

Формы записи СЛАУ:

1. СЛАУ(1)

2. Расширенная матрица

3. ∑ⁿ_j=1 a_ij x_j= b_i (1≤ i ≤m)

4. A ∙ X=B

Виды матриц:

1. Диагональная – Если все числа вне главной диагонали нули, то матрица называется диагональной.

2. Единичная – diagn(1) Если все числа вне главной диагонали нули, а числа стоящие на главной диагонали единицы, то матрица называется единичной. (?)

3. Квадратная – Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.(?)

4. Прямоугольная – матрица размером mxn

5. Треугольная – квадратная матрица, в которой ниже или выше главной диагонали стоят нули.

6. Нулевая – Если все элементы матрицы нули, то матрица нулевая.

7. Скалярная - a ∙ E_n

Действия над матрицами:

1. Сложение матриц. (Можно складывать матрицы одного и того же размера. Для сложения нужно сложить элементы стоящие на одних и тех же местах.)

2. Умножение матриц на число. (Можно умножить на любое число. Для этого нужно умножить каждый элемент на число.)

3. Умножение матрицы на матрицу. (Нужно чтобы совпадало число столбцов1-й матрицы и строк 2-й. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что: с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + ... + a_in × b_nk, т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В.(?) )

Свойства линейных операций над матрицами

Замечание A, B, C… Є M_mxn – множество матриц размером mxn.

P=R(C), где P-числовое поле.

1. (A+B)+C=A+(B+C) –ассоциативность

2. Существует O Є M | A+O=O+A=A – существование нейтрального элемента

3. Для всякого A Є M существует –А | A+(-A)=(-A)+A=O – существование симметричного(противоположного) элемента

4. A+B=B+A – коммутативность

Замечание 2.

Если на множестве каких-либо объектов введено действие, обладающее какими-либо свойствами (например 1, 2, 3), то это множество называется группой, а операция – умножением. Если все 4 – абелевая или коммутативная группа, умножение называется тогда сложением.

5. a(A+B)=aA+aB - дистрибутивность

6. (a+b)A=aA+bA - дистрибутивность

7. (ab)A=a(bA)

8. 1 ∙ A=A

Обратная матрица

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA-E, где E – единичная матрица.(A, B Є M_mxn)

называется обратной матрицей для , если , где – единичная.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1) Находится определитель ∆ этой матрицы (если ∆ = 0, то обратной матрицы не сущ.; если ∆ ≠ 0, то шаг );

2) Составить ассоциированную матрицу (алг. дополнения для элементов строки записывается в виде столбца);

3) А^-1 = 1/∆ * А^*

(?)

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк и столбцов.

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым (или ведущим главным).

Определитель порядка n называется число равное алгебраической сумме n! слагаемых каждый из которых предполагает произведение n членов определителя взятых по одному и только по одному из каждой его строки и каждого столбца. При этом слагаемое или произведение берется со знаком «+» если подстановка составлена из номеров строк и номеров столбцов входящих в данное произведение четное, со знаком «-» - нечетное.

Элементы комбинаторики. Произвольное расположение m символов, выбранных из n элементов называется размещение (A^m_n = n(n-1)*…*[n-(m-1)]). Всякое размещение из n по n приводит к понятию перестановки из n-символов (P_n = Aⁿ_n = n(n-1)*…*2*1=1*2*3*…*(n-1)*n=n!) Если из множества n-символов выбирать подмножество из m-символов получается сочетание (C^m_n = A^m_n/P_m = (A^m_n*Pⁿ_n-m)/(P_m*P_n-m) = P_n/(P_n*P_n-m)).

Перестановкой из n символов называется расположение (запись слева на право) этих символов в определенном порядке.

Говорят, что числа i и j образуют инверсию, если большее стоит левее меньшего. (i>j)

Транспозиция – перемена местами2х символов.

После транспозиции четность меняется на нечетность и наоборот.

Все n! перестановок из n символов можно расположить в таком порядке, что каждая последующая будет получаться из предыдущей 1 транспозицией.

Биективное соответствие множества, состоящего из n-символов, называется подстановкой.

Любая подстановка в записи может быть представлена 2мя перестановками, записанными друг под другом.

Каждая подстановка может быть записана n! способами.

Четностью перестановки называют общее число инверсий.

Если число инверсий четное, то перестановка четная, если это число нечетное, то перестановка нечетная.

Определителем (детерминантом) порядка n (квадратная матрица порядка n) называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых представляет из себя произведения n-членов определителя, взятой по 1 и только по 1, взятое из каждой его строки и каждого столбца. При этом слагаемое берётся со знаком +, если подстановка, составленная из номеров строк и столбцов, входящих в данное произведение членов, чётная и со знаком -, если подстановка нечётная.

=

Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспортировании.

2. Любое свойство справедливо как для строк, так и для столбцов.

3. Если какую-либо строку в определителе умножить на какое-либо число, то определитель умножиться на это число.

4. Если поменять местами 2 строки в определителе, то определитель изменит знак на противоположный.

5. Если в определителе имеются 2 одинаковые строки, то он равен 0.

6. Если в определителе имеются пропорциональные строки, то он равен 0.

7. Если в определителе какая-либо строка представляет из себя сумму некоторых 2х пропорциональных матриц строк, тогда определитель равен сумме 2х определителей, у каждого из которых все строки кроме упомянутой те же самые, что и в исходном определителе.

8. Если к какой либо строке определителя прибавить любую его другую строку, предварительно умноженную на любое число, то определитель не изменится.