30.Глобальные свойства непрерывных функций. Теоремы Вейерштрасса.

Вторая теорема Вейерштрасса – с доказательством

Th3 Непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке.

Доказательство:

ОП:Пусть  f(x) C_[a,b] и неограниченна (например сверху), тогда

n∈N xn∈[a;b] : f(xn)>n. (1)

т.к ,то - ограниченная последовательность

Тогда в силу определения Гейне из непрерывной функции => что . Из соот. (1) =>, что ?!

Th4 (2 теорема Вейерштрасса)

непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения.

Доказательсвто:

М= supf(x). m= inff(x)

Тк по 3 теореме функция ограниченна , то её точные границы конечны M,m R

Применим метод ОП:

Предположим, что

∀x∈[a,b]:f(x)≠M

M-f(x)≠0 на [a,b]

неопределенна на [a,b]

По теореме 3 ограниченна на [a,b]:

f(x)<M-- .

Т.е M-- верхняя граница f(x) на [a,b]. Но M точка верхней границы ?!

=> x* [a,b] f(x*)= M min значение (аналогично)

31) Теорема о существовании и непрерывности обратной функции

Теорема 1. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существует обратная функция x=f−1(y), которая определена на множестве Y=f(X) и является на Y строго возрастающей (убывающей).

Доказательство. По условию функция f строго возрастает на множестве X. Это значит для любых x1,x2 принадлежащих X

и x1<x2 следует f(x1)<f(x2). Отсюда следует, что функция f обратима на X, следовательно, для нее существует обратная функция f−1:Y→X. Покажем, что функция f−1 строго возрастает на множестве Y. Пусть y1 и y2- любые точки из Y и y1<y2. Докажем, что x1=f−1(y1)<x2=f−1(y2). Допустим, чтоx1≥x2. По условию функция f строго возрастает на X, поэтому из условия x1≥x2вытекает неравенствоy1=f(x1)≥y2=f(x2), что противоречит условию y1<y2.

Т.о., условие строгой монотонности функции является достаточным для существования обратной функции.

Теорема 2. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке I, то существует обратная функция x=f−1(y), которая определена на промежутке Ef=f(I) и является на Е, строго возрастающей (убывающей) и непрерывной.

Доказательство. Для определенности предположим, что функция f строго возрастает на промежутке I. По следствию из 2-ой теоремы Больцано-Коши область значений Ef=f(I) непрерывной функции f тоже есть промежуток. В силу строгого возрастания функции f для каждого y∈E существует единственная

точка x∈I такая, что f(x)=y. Следовательно для функции f существует обратная функция f−1

определенная на промежутке Е и с множеством значений I.

Покажем, что f−1 строго возрастает на Е. Пусть y1 и y2-- две произвольные точки из Е, такие, что y1<y2 и прообразами этих точек будут точки x1и x2. f−1(y1)=x1, и f−1(y2)=x2.

Поскольку f - строго возрастающая функция, то неравенство y1=f(x1)<f(x2)=y2 возможно тогда и только тогда когда x1<x2 или тоже самое, когда f−1(y1)<f−1(y2). В силу произвольности y1 и y2 ∈E

делаем вывод, что функция f−1 - строго возрастает на множестве Е. Что и требовалось доказать.