36. Односторонние и бесконечные производные.
DF. Принято говорить что функция f имеет в т. x бесконечную производную если в этой т. она удовлетворяет двум условиям
Функция f непрерывна в т. x
lim (h→0)
Односторонними производн ф-ии
f:X→R в т.x0єX
назыв след пределы:
производная слева
f’-(x0)=lim(f(x)-f(x0))/(x-x0) [x→ x0-0 и x< x0]= lim(f(x+h)-f(x))/h [h→-0, h<0]
производн справа
f’+(x0)=lim(f(x)-f(x0))/(x-x0) [x→ x0 +0и x> x0]= lim(f(x+h)-f(x))/h [h→+0].
37. Производная и арифметические операции.
38. Производная композиции. Производная обратной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
39.
Производные функций, заданных
параметрически и неявно.
40.Нахождение производных некоторых функций. Таблица производных.
41. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
42. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
1.
Неопределённость вида
. Теор1: Пусть
функции f(x)
и g(x):
1)
Дифф-мы на (a
, b);
2)
;
3)
g’(x)
≠0 во всех точках (a
, b);
4)
(конечный или ∞)
.
Тогда
Док-во:
Доопределим
f
и g
в точке a:
f(a)=0,
g(a)=0.
Теперь f
и g
непрерывны справа и слева в точке а, и
удовлетворяет теореме коши о средних
значениях на любом отрезке (a
, x]
⊂
(a
, b).
∀x:
a<x<b ∃ξ=
ξ(x)∈(a
, x);
, причём
=>
если
.
Замечание:
верно и для a-0
и просто a.
Теор2:
Пусть функции f(x)
и g(x):
1)
Диф-мы при x>c;
2)
3)g’(x)
≠0 при x>c;
4)
(конечный или ∞)
.
Тогда
Док-во:
т.к. x->∞,
то без ограничения общности можно
считать с>0. Введём замену t=
.
Тогда очевидно, что при (x->+∞)<=>(t->+0).
∈
c(0
,
).
∃
∃
.
Тогда функция
и
на интервале (0 ,
)
удовлетворяют условиям 1-ой теоремы.
Докажем:
.
.
.
Тогда, из теоремы 1 =>
.
С другой стороны
=
.
Замечание:
верно и для x->
-∞.
2.
Неопределённость вида
.
Теор3: Пусть
функции f(x)
и g(x):
1)
Дифф-мы на (a
, b);
2)
;
3)
g’(x)
≠0 во всех точках (a
, b);
4)
(конечный или ∞)
.
Тогда
Док-во:Рассмотрим
случай
∈R
и докажем его. Выберем
:
a<x<
<b.
На отрезке [x,
]
функ. f
и g
удовлетворяют условиям теоремы Коши
=> ∃
∈(x,
):
.
Вынесем
=>
=
(1).
При заданом
,
как бы мы не выбирали т.
∈(a,
).
В силу 4-го условия:
.
А в силу 2-го условия:
.
В правой части равенства (1) нельзя просто
воспользоваться теор. (о пределе
произведений), т.к. эти пределы берутся
при разных условиях. 1)
.
2)
.
Тем не менее ∀
можно выбрать значение
,
чтобы величина
была сколь угодно близка к величине k
для
,
а затем выбрать δ>0 чтобы дробь
была близка к 1-це ∀x∈(a<
a+
δ). В результате при указывании x получаем
.
k=
±∞. 3)
Неопределённости других видов.
- можно раскрыть, если предварительно
прологорифмировать. Неопределённость
или
- следует привести к виду
или
43.Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Неинва-
риантность формы высших дифференциалов.
Производные высших порядков
Если
функция
дифференцируема на некотором множестве
(т.е.
дифференцируема в каждой точке
),
то
можем рассмотреть новую функцию
Производные
высших порядков определяются индуктивно
Определение
n-ой
производной можно записать в виде
предела
,
n=1,2,3…
!Подчеркнём,
что для существования n-й производной
в точке а, необходимо потребовать
существования всех предыдущих производных
,
,
для x из некоторой окрестноти точки а
Формулы для производных элементарных функций
при
все
Функция называется n раз непрерывно дифференцмруема на некотором промежутке, если во всех точках этого множества она имеет непрерывные производные до порядка n включительно
Дифференциалы высших порядков.
Дифференциалом n-го порядка функции f в точке х называется однородная функция степени n от приращения h, определяемая след. равенством
классический вид:
,
n>1
Свойства дифференциалов высших порядков
с-const
Формула Лейбница
Неинвариантность формы высших степеней
Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности.