7. Предел последовательности и неравенства.

Теорема 1: Пусть lim_n→∞ x_n=a , lim_n→∞ y_n=b и a<b(a>b). Тогда начиная с какого-то n₀ такое же неравенство будет справедливо для членов последовательности.

Ǝ n₀єΝ | ∀ n≥n₀ : x_n<y_n (x_n>y_n)

◄Пусть a< b , тогда Ǝ 𝒰(a), 𝒰(b) | 𝒰(a)∩𝒰(b)=∅

По определению lim_n→∞ x_n=a , lim_n→∞ y_n=b

lim_n→∞ x_n=a => для 𝒰(a) Ǝ n₁єN | ∀ n≥n₁ x_nє 𝒰(a)

lim_n→∞ y_n=b => для 𝒰(b) Ǝ n₂єN | ∀ n≥n₂ y_nє 𝒰(b)

Рассмотрим n₃=max{ n₁ ,n₂} , тогда ∀n≥ n₃ : x_nє 𝒰(a); y_nє 𝒰(b) => x_n<y_n ►

Следствие 1: Пусть lim_n→∞ x_n=a и a<b . Тогда Ǝ n₀єΝ | ∀ n≥n₀ : x_n<b

◄Рассмотрим y_n=b, nєN. Тогда lim_n→∞ y_n=b и утверждение вытекает и Теоремы 1►

Следствие 2: Пусть Ǝ lim_n→∞ x_n=a, причём а≠0. Тогда начиная с какого-то номера все члены последовательности имеют тот же знак, что и а.

Теорема 2: Пусть lim_n→∞ x_n=a , lim_n→∞ y_n=b и начиная с некоторого номера x_n≤y_n. Тогда a≤b

◄ОП: предположим a≥b => по Теореме 1 начиная с какого-то номера x_n>y_n

Система: x_n>y_n ,x_n≤y_n ?!►

Утверждения: Пусть lim_n→∞ x_n=a , lim_n→∞ y_n=b

Если начиная с некоторого номера

x_n<y_n => a≤b

x_n≤b =>a≤b

x_n<b =>a≤b

Замечание: Строгое неравенство для членов последовательности не влечёт за собой строгое неравенство для пределов.

Теорема(о сжатой переменной): Пусть Ǝ n₀єΝ | ∀ n≥n₀ : x_n≤y_n≤z_n и пусть Ǝ lim_n→∞ x_n=lim_n→∞ z_n=a.

Тогда Ǝ lim_n→∞ y_n=a.

◄Зададим (a) => Ǝ n₁ | ∀ n≥n₁ x_nє 𝒰(a) => Ǝ n₁ | ∀ n≥n₂ z_nє 𝒰(a)

Рассмотрим n₃=max{ n₁ ,n₂}

∀n≥ n₃ : (x_nє 𝒰(a))⋀( z_nє 𝒰(a))

Т.к. x_n≤y_n≤z_n,то y_n є 𝒰(a) при ∀n≥ n₃

Следовательно lim_n→∞ y_n=a.►

8.Последовательность a_n называется бесконечно малой, если   . Последовательность a_n называется бесконечно большой, если  .

Свойства бесконечно малых

• Сумма 2-ух б.м.п. — б.м.п.

• Разность 2-ух б.м.п. — б.м.п.

• Произведение 2-ух б.м.п. — б.м.п.

• Произведение б.м.п. на ограниченную — б.м.п.

• Если a_n — б.м.п., сохраняющая знак, то (1/( a_n)) — б.б.п.

• Бесконечно малая последовательность ограничена.

Свойства бесконечно больших

• Если a_n — б.б.п, сохраняющая знак, то (1/( a_n)) — б.м.п.

• Сумма 2-ух б.б.п. — б.б.п.

• Если a_n - б.б.п, b_n - ограниченная, то их сумма – б.б.п.

• Если a_n ,b_n - б.б.п, то их произведение – б.б.п.

• Если a_n - б.б.п, b_n - сходящаяся (причем её предел ≠ 0), то их произведение – б.б.п.

• Если a_n - б.б.п, b_n - ограниченная (отделимая от нуля), то их произведение – б.б.п.

• Если a_n - б.б.п, ∀nєN , |a_n | ≤ |b_n | (|a_n | < |b_n |), то b_n - б.б.п.

Теорема об арифметических операциях над б.м.п. – с доказательством.

Сумма 2-ух б.м.п. — б.м.п.

◄ Пусть α_n и β_n - бесконечно малые последовательности.

∀ ԑ>0 Ǝ n₁єN : ∀ n≥n₁ , | α_n - 0| < ԑ/2

∀ ԑ>0 Ǝ n₂єN : ∀ n≥n₂ , | β_n - 0| < ԑ/2

|α_n + β_n |≤ | α_n | + | β_n |

∀ ԑ>0 n₃ = max {n₁, n_2} : ∀ n > n₃ |(α_n + β_n) – 0 | = |α_n + β_n | ≤ | α_n | + | β_n |< (ԑ/2)+(ԑ/2) = ԑ ►

Разность 2-ух б.м.п. — б.м.п.

◄ Аналогично предыдущему доказательству, только вместо |α_n + β_n |≤ | α_n | + | β_n | будет |α_n - β_n |≤ | α_n | - | β_n |►

Если a_n - б.б.п, b_n - ограниченная, то их сумма – б.б.п.

◄ α_n - бесконечно малая, β_n - ограниченная.

Ǝ c>0 ∀ n_cєN : ∀ n≥n_c , | β_n | < c

∀ ԑ>0 Ǝ n₁єN : ∀ n≥n₁ , | α_n - 0 | < ԑ/c

∀ № n≥ n₁ | α_n | * | β_n | < c* (ԑ/c)= ԑ ►

Если a_n — б.б.п, сохраняющая знак, то (1/( a_n)) — б.м.п.

◄ ∀ ԑ>0 обозн. M = 1/ԑ

Ǝ n_M : ∀ n ≥ n_M | a_n | > 1/ԑ  1/| a_n |< ԑ : |1/ a_n - 0| < ԑ ►