26. Критерий Коши для функций.

df: Колебанием фун-ии f:X->R наз.величина

ω(f,x)= {| |}

Критерий Коши в терминах колебаний:

27. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация. Односторонняя и кусочная непрерывность.

ОП. Непрерывность ф-ции.

Ф-ция f:X->R по мн-ву Х наз. непрерывной

в т. а из Х, если в этой точке она имеет конечн.

предел равный f(a), т.е. сущ. limf(x)=f(a), x->a.

ОП. В терминах Эпс-дельта.

Для любого Эпс>0 сущ дельта>0 | для всех х из

Х: |x-a|<дельта => |f(x)-f(a)|<Эпс.

ОП. В терм. окрестностей.

Для любой окрестн. V(f(a)) сущ. окрест. U(a):

f(пересеч. U(a) и Х) принадлежит V(f(a))

ОП. В терм. приращений.

Ф-ция непрерывна в точке, если бесконечно

малое приращение аргумента в точке соотв.

бесконечно малому приращ. ф-ции в точке.

1)Устранимая точка разрыва – если пределы

справа и слева равны. (x->a+0 , x->a-0)

2)Точка разрыва 1 рода если пределы слева

и справа конечные, но не равны.

3) Точка разрыва 2 рода, если хотя бы 1

предел не существует или бесконечный.

ОП. Скачок функции: дельта f=f(a+0)-f(a-0)

28.Локальные свойства непрерывных функций.

Опр. Локальными называются такие свойства функций, которые определяют поведение функций в сколь угодно малой окружности.

Основные локальные свойства:

 Th1 f:Х R непрерывна в т.а

Тогда:

а) f ограничена в некоторой И(a)

б) если f­(а)  0,то существует И(a), что на множестве И(a) (х), f(х) принимает значения того же знака что и f­(а).

в)пусть даны f:Х R непрерывна в точке а

g:Х R непрерывна в точке а

Тогда существует И(a) такая, что на И(a) х определено частное

Доказательство:

а) вытекает из ограниченной функции имеющей конечный предел

б)т.к. f­(а) 0, то можно выбрать ( f­(а)) /0. Тогда И(a): f(И(a) (х))< V(f­(а))

И(a)-искомая

в)для того чтобы частное надо чтобы g­(а) 0

 Th2 Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a)№ 0 ) непрерывны в точке a.

Доказательство: Утверждение вытекает из свойств предела арифметической комбинации функции.

 Th3 (о непрерывной композиции)

Функция f:Х Y непрерывна в точке a Х, а функция g:Y R непрерывна в точке b Y, f(a) = b, тогда композиция g_° f:Y R также непрерывна в точке a.

29.Глобальные свойства непрерывных функций. Теорема Больцано-Коши.

Теорема Больцано-Коши – с доказательством.

Th1 (теорема Больцано-Коши о существовании корня непрерывной функции)

Пусть функция  f непрерывна на отрезке  [a,b] и принимает на концах отрезков значения разных знаков f(a)f(b)<0, то существует c [a,b] f(c) =0

Доказательство:

d=  ,если f(d)=0 , то искомая точка найдена ,если же f(d) 0 , то [a,d] [d,b] на концах отрезков функция принимает значение разных знаков . Этот отрезок обозначается [a,b] . Отрезок [a,b] снова разделим пополам такой d и тд.

f( )=0 и искомая точка найдена, либо во всех точках f( ) 0 и мы получаем бесконечную последовательность вложенных отрезков,длины которых 0.

 limn_  = limn_ 

[ ] f( ) * f( )<0

f(c)* f(c) 0