17. Основные классы функций.

Обратимые:

Df Числовая ф-ция y=f(x) наз обратимой на мн-ве Х, если она осуществляет биекцию

Прямая y=y₀: y₀ Y пересекает график ф-ции в одной точке

Для обратимых ф-ций и только для них сущ обратные ф-ции

Df Пусть ф-ция y=f(x) - обратимая на Х, тогда обратной ф-цией наз x=f^-1(y) , что f f^-1=f(f^-1(y))=y и f^-1 f=f^-1(f(x))=x

Nt Если f^-1 – обратная ф-ция для f , то f – обратная для f^-1

Th График обратной ф-ции симметричен графику исходной ф-ции относительно прямой y=x

Монотонные:

Df Пусть

1. f наз возрастающей, если

2. f наз неубывающей, если

3. f наз убывающей, если

4. f наз невозрастающей, если

Если ф-ция f удовлетворяет 2) или 4), ее называют монотонной

Если ф-ция f удовлетворяет 1) или 3), ее называют строго монотонной

Th Каждая строго монотонная ф-ция имеет единственную

Док-во:

f – инъективна

– сюрьективна f – биекция

пусть y₁=f(x₁), y₂=f(x₂)

Пусть f возрастающая

Аналогично при f – убывающей

Четные:

Df Пусть область определения симметрична относительно 0. Тогда f наз

а) четной, если : f(-x)=f(x)

б) нечетной, если : f(-x)=-f(x)

Любую ф-цию, область определения которой симметрична отн 0, можно представить в виде суммы четной и нечетной

График четной ф-ции симметричен относительно оси ординат (y), нечетной – относительно начала координат

Периодические:

Df наз периодической, если

f(x)=f(x+T)=f(x-T)

T наз периодом ф-ции

Свойства периодических ф-ций:

1. Область определения периодической ф-ции не может быть ограниченной

2. Если Т – период f, то любое число вида kT ( ) также является периодом

3. - периодическая, если

4. У любой периодической ф-ции есть положительный период

Df Если у периодической ф-ции существует наименьший положительный периода, то он называется основным периодом ф-ции

18. Предел функции. Определения Гейне и Коши.

Классификация точек множества:

Df Элемент а называется предельной точкой мн-ва , если в любой его проколотой окрестности Ů(а) содержится бесконечно много точек из Е

Df Точка а ( или а = ∞ ) наз изолированной точкой мн-ва Е, если а Е и а не является предельной точкой для Е (если )

Df Точка а ( или а = ∞ ) наз внутренней точкой мн-ва, если она содержится в Е вместе некоторой своей окрестностью.

Предел ф-ции:

Df (по Коши в терминах окрестностей)

Пусть , и точка а ( или а = ∞ ) – предельная точка Х. Принято говорить, что элемент В (или В = ∞ ) является пределом функции f при по множеству Х, если

Nt

1. Если а – изолированная точка мн-ва Х, то говорить о пределе в этой точке нельзя

2. Если ф-ция f имеет предел , то она имеет тот же самый предел и по любому подмножеству Е Х, если а – предельная точка Е

Df (в терминах «ε-δ»)

Пусть и а – предельная точка мн-ва Х, тогда

Пусть или - предельная точка мн-ва Х

- предельная точка мн-ва Х

Df (по Гейне)

Пусть а или а = ∞ . Тогда В или В = ∞ является пределом функции f при по множеству Х, если соответствует последовательность значений