14.Фундаментальные последовательности.

называется фундаментальной, если для неё выполняется следующее условие (условие теоремы Коши):

∀ ԑ>0 Ǝ n_ԑєN : ∀ n, m≥n_ԑ : | x_m - x_n | < ԑ или ∀ ԑ>0 Ǝ n_ԑєN : ∀ n≥n_ԑ, ∀ p єN : | x_n+p - x_n | < ԑ

Критерий Коши сходимости последовательности.

Для того, чтобы последовательность была сходимой необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

∀ ԑ>0 Ǝ n_ԑєN : ∀ n, m≥n_ԑ : | x_m - x_n | < ԑ (1)

или ∀ ԑ>0 Ǝ n_ԑєN : ∀ n≥n_ԑ, ∀ p єN : | x_n+p - x_n | < ԑ

◄ Пусть сход, т.е. , тогда

∀ ԑ>0 Ǝ n₁єN : ∀ n ≥n₁ : | x_n - a | <

∀ ԑ>0 Ǝ n₁єN : ∀ m ≥n₁ : | x_m - a | <

| x_n - x_m | = | x_n – a - x_n + a|≤| x_n - a| + |- x_n + a|< ԑ

<= пусть выполн. (1)

∀ ԑ>0 Ǝ n_ԑєN : ∀ n, m≥n_ԑ : | x_m - x_n | < (2)

m=n₃

- <x_n< + ∀ n ≥n_ԑ => - огран. посл. По принципу выбора у неё можно выделить сход. подпоследовательность Ǝ (3), д-м, что вся послед. сход. к числу С.

∀ ԑ>0 (на основе (3))

Ǝ ∀ n≥ : | |<

m = n_k ≥ n_ԑ в формуле (2) => | |<

∀ n≥max{n₃, _ԑ}, тогда | | = | + |x_n-x_m|< =ԑ => ►

15.Нижний и верхний пределы последовательности.

Верхним пределом называют величину, равную (k≥n) и обозначают

Нижним пределом называют величину, равную (k≥n) и обозначают

Теоремы о верхнем и нижнем пределе.

Для того чтобы последовательность сходилась в необходимо и достаточно, чтобы её верхний и нижний пределы совпадали.

◄Пусть ϵ

∀ U(a) Ǝ n_uєN | ∀ n≥n_u : x_nєU(a) => ∀ n≥n_u

x_n={x_n , x_n+1 , x_n+2 , …} Ϲ U(a) =>

=> ∀ n≥n_u { => Ǝ

= , = =>

=> Ǝ = =

<= пусть =

∀ nєN

U_n = inf { x_n , x_n+1 , x_n+2 , … }

V_n = sup { x_n , x_n+1 , x_n+2 , … }

U_n≤x_n≤ V_n ∀ nєN

По теореме о сжатой переменной: = = ►

∀ последовательность x_n Ǝ , Ǝ и они связаны друг с другом неравенством:

- ≤ ≤ ≤+

◄x_n={ x_n , x_n+1 , x_n+2 , … }

U_n = inf x_n

V_n = sup x_n

очевидно, что x_n ≠ 0 : x_n+1<x_n => при переходе от x_n к x_n+1 inf может лишь увеличиться, а sup – уменьшиться => ,

- <U_m<U_m+1<V_n+1<Vn<+ (2)

=> послед. U_n огран. сверху (числом V₁), послед. V_n огран. снизу (числом U₁) => по теореме о lim мон. послед. Ǝ = , Ǝ = . Пред. переходом из (2) в (1)►

Частичный предел.

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно +  или - .

16. Отображения и их основные типы. Функция действительной переменной.

Df Для произвольных множеств Х, Y отображением (функцией) из Х в Y наз. любое подмножество , удовлетворяющее условию:

Обозначение:

Df Для любой пары из этого декартова произведения y наз. образом эл-та x, а x наз. одним из прообразов эл-та y

Df Для мн-во наз-ся образом множества Х

Для F(X) само X наз. полным прообрахом.

Считается, что , но не обязательно F(X)=Y

Df Отображение называется

1. сюрьективным, если F(X)=Y ( является образом некоторого )

2. инъективным , если

3. биективным, если F является и сюрьективным, и инъективным (также может называться взаимно-однозначным соответствием)

Для любой биективной , называемое обратным к F

тоже биективно

Df Пусть . Тогда их композицией наз отображение

g – внутреннее отображение, f – внешнее отображение.

Композицию можно образовать и из 3 и более отображений

Если , то исп. термин «числовая функция».

Композицию числовой ф-ции наз сложной функцией.

Df Функцией действительной переменной наз. отображение , где

мн-во Х наз областью определения ф-ции f (обозн: D(f), D_x, E_x)

символ x общего эл-та Х наз аргументом или независимой переменной.

наз. значением ф-ции на эл-те (в точке x)

f(X) наз множеством занчений ф-ции f (обозн: D_y, E(f), E_y)

Основные способы задания ф-ции:

• аналитический (формулой)

• табличный (приводится таблица, в которой даны значения ф-ции (возможно, приближенные) для конечного мн-ва значений аргумента)

• графический (при помощи графика)

Df Графиком ф-ции y=f(x), наз мн-во точек

необходимо, чтобы каждая вертикальная прямая пересекала кривую не более 1 раза