50 Выпуклость графиков функции.
Аналитическое условие выпуклости.
Определение 1. f: (a,b)→ℝ называется выпуклым вниз(вверх) , если на любой внутреннем интервале f(x)≤(x) | f(x) ≥(x), где y=l(x) –уравнение хорды, между A(x1;f(x1)) и B(x2; f(x2)). Если неравенство строгое, строго выпукла. Геометрический смысл означает, что точки графика лежат не выше (не ниже) хорды интервала.
Определение 2. f(x)=<((x2-x)/(x2-x1)) * f(x1) + ((x-x1/(x2-x1)) * f(x2), x1<x<x2.
Определение 3. Функция называется вып, если на любом внутреннем интервале (a, b) выполняется условие: ( f(x)-f(x1) )/(x-x1)≤( f(x2)-f(x) )/(x2-x
50.
Определение выпуклости графика функции
→R
назывется выпуклой вниз (верх) на (a,b),
если
выполняются неравенства
1)
≥
Условия
выпуклости вниз
2)
≥
Условия
выпуклости вверх
- хорда, которая
соединяет точки графика
и (
Условия
выпуклости вверх вниз если неравенства
1 и 2 строгие, то
строго выпукла вниз (вверх).Геометрически
это значит, что
лежит выше хорды
– (выпуклость вверх), или
лежит ниже хорды
– (выпуклость вниз).
Аналитические усл. выпуклости
Th1(условия
выпуклости в терминах первой
производной).Пусть
дифф. на
,
тогда выпуклость
вниз, равносильна не убыванию производной
вниз. Аналогично выпуклость
вверх
не возрастанию производной
вверх. Если
строго возрастает(убывает),то
строго выпукла вниз или вверх.
Th2(условия
выпуклости в терминах второй
производной).Пусть на
Ǝ
.Тогда
выпуклость
вниз или вверх
тому, что на (a,b)
f’’(x)≥0
и f’’(x)≤0.При
строгих неравенствах, выпуклость тоже
строгая.
Th3 Для того, чтобы f на (a,b) была выпукла вниз(вверх),необходимо и достаточно, чтобы график f лежал не ниже(не выше) любой касательной в любой точке (a,b).
51. Точки перегиба.
Рассмотрим f(x) : (x0; f(x0)) – точка на графике f если Ů-(x0) и Ů+(x0) функция имеет выпуклость разных смыслов, то говорят, что (x0; f(x0)) – точка перегиба графика функции f. Предположим, что функция дифференцируема на проколотой окрестности x0, а в самой x0 бесконечная производная, тогда функция будет с одной стороны по одну сторону от касательной, а с другой стороны – по другую. Если функция дважды дифференцируема, тогда f”(x0)=0.
Необходимое условие точки перегиба. Теорема. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b), тогда если точка x0∊ (a; b) является точкой перегиба функции f, то f”(x0)=0.
Действительно, если бы f”(x0)<0 (соответственно f”(x0)>0), то в силу непрерывности второй производной нашлась бы окрестность точки x0, в которой f”(x0)<0 (соответственно f”(x0)>0), и, значит, согласно теореме о достаточном условии строгой выпуклости, функция f была бы строго выпукла вверх (вниз) на этой окрестности, что противоречит тому, что является точкой перегиба. Замечание. Подобно тому как все точки экстремума функции находятся среди точек, в которых либо не существует, так и все точки перегиба функции находятся среди точек, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.
Достаточное условие точки перегиба. Теорема. Если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и k≥3, и f(n)=0 при n=2,3,4…k–1, а f(k)≠0, то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.
Доказательство. Возможны два случая:
А.
k=2m+1,
т.е. первая по старшинству порядка выше
второго производная, отличная от нуля,
имеет нечетный порядок. Тогда разложение
функции f(x)
в ряд Тейлора имеет вид
, а разложение в ряд Тейлора производной
f’(x)
имеет вид
Пусть f(2m+1)(x0)>0. Тогда левее x0 f’(x) монотонно убывает, а правее x0 f’(x) монотонно возрастает. Следовательно, левее x0 f(x) вогнута, а правее x0 – выпукла и x0.
Если же f(2m+1)(x0)<0, то левее x0 f’(x) монотонно возрастает и f(x) f’(x) монотонно убывает и f(x) вогнута. Следовательно, x0 точка перегиба.
B.
k=2m,
т.е. первая по старшинству (порядка выше
второго) производная, отличная от нуля,
имеет четный порядок. Тогда разложение
f(x)
в ряд Тейлора имеет вид
,
а разложение в ряд Тейлора производной
f’(x)
имеет вид
Пусть f(2m)(x0)>0. Тогда и левее и правее x0 f’(x) монотонно возрастает и, следовательно, и левее и правее x0 f(x) выпукла.
Если же f(k)(x0)<0, то и левее и правее f”(x0)=0 f’(x) монотонно убывает и, следовательно, и левее и правее x0 f(x) вогнута. Поэтому в точке x0 перегиба нет.
Таким образом, есть в x0 перегиб или нет, определяется порядком первой по старшинству (порядка выше второго) производной, отличной от нуля. Если это производная нечетного порядка, то x0 есть точка перегиба f(x), если четного порядка - то в x0 перегиба нет.