1)(Множества и операции над ними)

Множество – совокупность объектов(элементов)

Способы задания: 1. Перечисление элементов,

2. определение по св-ву(четность и т.п)

3. задание мн-ва с помощью другого мн-ва

ОП. Если все элементы мн-ва А принадлежат мн-ву

В, то А – под-мнво В.

ОП. А и В называются равными, если каждое из них Содержится в другом.

ОП. Если А принадлежит В и А не равно В, то А –

собственное подмн-во В

ОП. Если A принадлежит В, то дополнение А до В

Наз. Мн-во А’=В\А

2. Аксиоматика вещественных чисел. Мн-во R наз. Мн-вом действительных(веществ.) чисел, а его элементы действительными или вещественными числами. Если выполнена следующая система условий, называется аксиоматикой действительных чисел:

- Аксиома сложения: 1. x+у=у+х(коммутативность)

2. х+(у+в)=(х+у)+в (ассоциативность)

3. существование нейтрального эл-та (ноль)

4. существование обратного эл-та х+(-х)=0

- Аксиома умножения:1. ху=ух(коммутативность)

2. х(ув)=(ху)в (ассоциативность)

3. сущ. Нейтр эл-та (единица)

4. сущ. Обратного эл-та (1/х*х=1)

- Аксиома связи сложения и умножения:

Х(у+в)=ху+хв (дистрибутивность)

- Аксиома порядка:

1.(x<=у) и (y<=х)

x=у

2. х меньше у и у меньше в, след. x меньше в.

- Аксиома связи порядка и операции слож. и умнож.

Если х<y то, x+b<y+b, xb<yb

• Аксиома полноты:

Для всех х из Х , у из У при х меньше или равно у, cущ в из R, что х< в<y

3. Свойства действительных чисел. Важнейшие подмножества .

Важнейшие подмн-ва R :

N(натуральные), Z(целые),

Q(рациональные), R\Q(иррациональные)

Аксиома сложения: 1. x+у=у+х(коммутативность)

2. х+(у+в)=(х+у)+в (ассоциативность)

3. существование нейтрального эл-та (ноль)

4. существование обратного эл-та х+(-х)=0

Аксиома умножения:1. ху=ух(коммутативность)

2. х(ув)=(ху)в (ассоциативность)

3. сущ. Нейтр эл-та (единица)

4. сущ. Обратного эл-та (1/х*х=1)

Аксиома связи сложения и умножения:

Х(у+в)=ху+хв (дистрибутивность)

Аксиома порядка:

1.(x<=у) и (y<=х)

• x=у

2. х меньше у и у меньше в, след. Х меньше в.

Аксиома связи порядка и операции слож. и умнож.

Если х<y то, x+b<y+b, xb<yb

Аксиома полноты:

Для всех х из Х , у из У при х меньше или равно у, сущ в из R, что х< в<y

4. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Грани числовых мно-

жеств. Теорема о гранях.Числовое мн-во – любое подмн-во из R

ОП. Пусть Е не пустое числ. Мн-во, тогда х’ его макс эл-т., если для всех х из Е: х<=x’, минимальный –наоборот.

ОП. Числовое мн-во Е наз. Ограниченным сверху, если для него сущ. Хотя бы 1 число М из R, что для всех х из Е: х<=M, тогда число М – верхн.

Граница мн-ва Е.

ОП. Супремиум – наименьшая из верхних границ.

ОП. Инфимум – наибольшая из нижних границ.

Теорема( о гранях): Всякое непустое, ограниченное сверху(снизу) мн-во действ. чисел имеет единств. конечную верхнюю(нижнюю) грань.

Док-во. Пусть U– множество всех верхних границ для Е , х!=пустому. Т.к. множество Е ограниченно сверху, то V хєЕ, V yєU : x<=y.Тогда в силу аксиомы полноты : сущ. М | V хєЕ, V yєU : x<=M<=y , т.е. получается, что М-верхняя грань,т.к. x<=M и M – наименьший элемент множества верхних границ , т.к МєU , M<=y V yєU => M=supE.

5. Предел числовой последовательности.

Определение: Пусть Х – произвольное мн-во. Послед-ю элементов Х называется любое отображение ƒ:N→X (любая ф-ия натурального аргумента со значеними в Х).

Значения ƒ(n) называются элементами(членами) последовательности.

ƒ(n) – общий член послед-ти ; x_n= ƒ(n),nєN

(x_n)^∞_n=1 (x_n)_nєN (x_n)

Послед-ю элемента Х называется любое занумерованное подмн-во Х.

Определение: Если мн-во Х – числовое, тои последовательность называется числовой

Определение: Послед-ть, все элементы которой совпадают, называют постоянной послед.

Определение: (x_n)^∞_n=1 называется сходящейся, если для неё существует действительное число а такое, что для любого положительного ԑ можно указать номер n_ԑєN, начиная с которого выполняется неравенство : |х_n=а|< ԑ при всех n≤n_ԑ . Это число а называется пределом послед-ти.

Определение: lim_n→∞ x_n=a  ∀ ԑ>0 Ǝ n_ԑєN| ∀ n≥n_ԑ : |х_n-а|< ԑ

Определение: Если послед-ть не имеет в своих пределах никакого действительного числа, то она называется расходящейся.

Определение: lim_n→∞ x_n=a  ∀𝒰(a) Ǝ n_𝒰єN| ∀ n>n_𝒰 : x_nє 𝒰(a)

6. Свойства предела числовой последовательности.

Теорема: Справедливы следующие утверждения:

1) любая окрестность в пределах последовательности содержит все члены последовательности, кроме (может быть) конечного числа

2)сходящаяся последовательность всегда ограничена

3)(единственность предела) последовательность не может иметь двух разных пределов

4)(предел постоянной последовательности) Если x_n=a ∀nєN, то Ǝ lim_n→∞ x_n=a

◄1)из определения в терминах окрестностей: если lim_n→∞ x_n=a, окрестность предела содержит все элементы начиная с номера n=n_𝒰 => вне 𝒰(a) могут быть только члены последовательности х₁ ,х₂ ,…,х n_𝒰-1 , т.е не более чем конечное число

2)пусть lim_n→∞ x_n=a

Рассмотрим 𝒰(a,ԑ)

x_nє 𝒰(a,ԑ) , n≥n_𝒰

а-ԑ≤x_n≤ а+ԑ , n≥n_𝒰

| x_n |≤| а|+ԑ , n≥n_𝒰

М=max{| x₁ |,| x₂ |,….,| х n_𝒰-1 |,| а|+ԑ} , т.е. последовательность ограничена

3)ОП: предположим lim_n→∞ x_n=a , lim_n→∞ x_n=b

Возьмём 𝒰(a), 𝒰(b) | 𝒰(a)∩𝒰(b)=∅

lim_n→∞ x_n=a  для 𝒰(a) Ǝ n₁єN начиная с которого ∀ n≥n₁ x_nє 𝒰(a)

lim_n→∞ x_n=b  для 𝒰(b) Ǝ n₂єN | ∀ n≥n₂ x_nє 𝒰(b)

Рассмотрим n₃=max{ n₁ ,n₂} при n≥ n₃ : x_nє 𝒰(a)⋀x_nє 𝒰(b) => x_nє 𝒰(b)∩𝒰(b)=> x_nє ∅ ?!

4)Пусть x_n=a , nєN

∀ ԑ>0 ƎN-1 | ∀ n>1 |х_n-а|=|a-а|=0<ԑ => Ǝ lim_n→∞ x_n=a

►

Замечание:

Утверждение, обратное второму, неверно: ограниченная последовательность не обязана быть сходящейся