5. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий(совместных событий).

опр: Суммой событий A и B называется событие A+B, состоящее в появлении или события А, или события B, или обоих событий вместе.

опр: Суммой нескольких событий A₁, A₂,…,A_n называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

опр: события А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления других в одном и том же испытании.

теорема: Пусть события А и B несовместные и известны вероятности их появления, тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна сумме вероятностей этих событий.

следствие: Пусть события А₁, А₂, …A_n попарно несовместны. Тогда вероятность появления одного из них безразлично какого равна сумме вероятностей этих событий. P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n).

опр: события называются совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления другого.

теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий.

теорема: вероятностью событий A₁, A₂, … ,A_n, образующих полную группу равна 1. P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1.

опр: Противоположными называют 2 единственно возможных несовместных события, образующих полную группу. Если исходное событие А, то противоположное . Если исходное событие p, то противоположное q.

теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Т.е. p+q=1.

замеч: Данную теорему можно распространить на любое конечное число событий.

6. Произведение событий. Теоремы об умножении событий независимых и зависимых событий.

опр: Произведением 2-х событий A и B является событие в их совместном появлении.

опр: Произведением событий A₁, A₂, … ,A_n называется событие, состоящее в их совместном появлении всех этих событий.

Очень часто при вычислении вероятностей приходится иметь дело не со всем пространством событий, а лишь с какой-то его частью. В этом случае возникает понятие условной вероятности событий.

опр: Условная вероятность события B при условии A |P_A(B)| или P(B(A)) называется вероятность события B, вычесленная в предположении, что событие A уже произошло. .

теорема: Пусть даны события A и B и известны вероятность |P(A)| и условная вероятность |P_A(B)|, тогда вероятность совместного появления событий A и B равна произведению вероятности события A на условную вероятность события B. => P(A*B)=P(A)*P_A(B).

следствие: Пусть события A₁, A₂, … ,A_n => P(A₁*A₂*…*A_n)=P(A1)*P_A1(A2)*P_A1A2(A3)*…*P_A1A2…An-1(A_n), где P_A1A2…An-1(A_n) – вероятность события A_n, вычисленная в предположении, что события A₁, A₂,…,A_n наступили.

опр: События A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того произошло или не произошло другое событие, т.е. P_B(A)=P(A) или P_A(B)=P(B).

теорема: Пусть события А и В независимы и известны их вероятности, тогда вероятность совместного появления равна произведению их вероятностей => P(AB)=P(A)*P(B).

замечание: теорему можно распространить на любое число независимых событий, если они независимы в совокупности. Т.е. P(A₁A₂…A_n)=P(A1)*P(A2)*P(A3)*…*P(A_n).

опр: события A₁, A₂, … ,A_n называются независимыми попарно, если каждые 2 из них независимы.

опр: события A₁, A₂, … ,A_n называются независимыми в совокупности, если они независимы попарно и независимо каждое событие и произведение оставшихся.

замечание: Из независимости попарно не следует независимость в совокупности.

теорема: Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности каждого события известны, тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий: .

следствие: Если в условиях предыдущей теоремы все события имеют одну и ту же вероятность p, тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна разности:

P(A)=1-qⁿ; где p+q=1.

опр: события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или не произошло другое событие.