4.Гипергеометрическое распределение.

Пусть в партии из N деталей М деталей стандартных. Наудачу выбирают n деталей. Найти вероятность того, что среди n отобранных деталей ровно m стандартных. Х – случайная величина – количество стандартных деталей среди отобранных. Возможными значениями случайной величины являются целые неотрицательные числа (0,1,2,3,…). По классическому определению вероятности: общее число исходов события X=m, равно количеству способов извлечь из N деталей n деталей ( ). Число благоприятствующих этому событию исходов равно числу способов извлечь из M деталей m деталей и числу способов извлечь из N-M нестандартных деталей n-m деталей

Тогда

11. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, но не всегда есть возможность его получить. В этом случае используют числа, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальный и центральный теоретические моменты, мода, ассиметрия и эксцесс.

опр: Математическое ожидание дискретной случайной величины (ДСВ) называется сумма произведений возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности.

пусть задан закон распределения:

x	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Тогда по определению математическое ожидание равно: .Если количество возможных значений случайной величины счетно, то тогда , считая, что ряд в правой части абсолютно сходится.

С точки зрения вероятности математическое ожидание – есть среднее арифметическое возможных значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. M(C)=C, С-const.

2. M(CX)=C*M(X)

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y)=M(X)*M(Y).

4. M(X+Y)=M(X)+M(Y).

5. теорема: Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью p, тогда математическое ожидание числа появлений события А равно: M(X)=n*p.

12. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, но не всегда есть возможность его получить. В этом случае используют числа, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальный и центральный теоретические моменты, мода, ассиметрия и эксцесс. Математическое ожидание не полностью описывает случайную величину, т.к. у нескольких случайных величин может быть одно и тоже математическое ожидание, но при этом возможные значения данных случайных величин различны. Для определения возможности рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания вводят понятие дисперсии.

опр: Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D(X)=M[X-M(X)]².

опр: Отклонением называется разность между возможными значениями случайной величины и ее математическим ожиданием. [X-M(X)] – отклонение.

x-M(x)	x1-M(x)	x2-M(x)	…	xn-M(x)
p	p1	p2	…	pn

Пусть

x	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Свойство отклонения: математическое ожидание отклонения = 0. Т.е. M[X-M(X)]=0.

Исходя из закона распределения отклонения можно получить еще формулу для получения дисперсии:

D(X)= [X_i-M(X)]²*p_i.

Для вычислений удобна формула: теорема: D(X)=M(X²)-[M(X)]²

x	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

x	x12	x22	…	xn2
p	p1	p2	…	pn

M(X²)= (X_i)*p.

Среднее квадратическое отклонение: Для описания рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания наряду с дисперсией применяется и среднее квадратическое отклонение.

опр: Средним квадратическим отклонением называется , т.е. .

Среднее квадратическое отклонение применяется тогда, когда размерность результата должна совпадать с размерностью случайной величины.