Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Моделирование_СМО.doc
Скачиваний:
71
Добавлен:
15.04.2019
Размер:
1.9 Mб
Скачать

Контрольные вопросы

  1. 1.     Каково определение термина «система»?

  2. 2.     Что такое система массового обслуживания?

  3. 3.     Зачем нужна теория массового обслуживания?

  4. 4.     Каковы классификационные признаки СМО?

  5. 5.     Что такое СМО с отказами?

  6. 6.     Что такое СМО с ожиданием?

  7. 7.     Что такое многофазная СМО?

  8. 8.     Что такое замкнутая СМО?

  9. 9.     Приведите примеры замкнутых СМО.

  10. 10. Представьте коммерческое предприятие в виде совокупности простейших СМО.

 

 

5. Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

Правильная или наиболее удачная экономико-математическая постановка задачи в значительной степени определяет полезность рекомендаций по совершенствованию систем массового обслуживания в коммерческой деятельности.

В связи с этим необходимо тщательно проводить наблюдение за процессом обслуживания в системе, поиска и выявления существенных связей, формирования проблемы, выделения цели, определения показателей и выделения экономических критериев оценки работы СМО. В этом случае в качестве наиболее общего, интегрального показателя могут выступать затраты, с одной стороны, СМО коммерческой деятельности как обслуживающей системы, а с другой - затраты заявок, которые могут иметь разную по своему физическому содержанию природу.

Повышение эффективности в любой сфере деятельности К. Маркс, в конечном счете, рассматривал как экономию времени и усматривал в этом один из важнейших экономических законов. Он писал, что экономия времени, равно, как и планомерное распределение рабочего времени по различным отраслям производства, остается первым экономическим законом на основе коллективного производства. Этот закон проявляется во всех сферах общественной деятельности.

Для товаров, в том числе и денежных средств, поступающих в коммерческую сферу, критерий эффективности связан со временем и скоростью обращения товаров и определяет интенсивность поступления денежных средств в банк. Время и скорость обращения, являясь экономическими показателями коммерческой деятельности, характеризуют эффективность использования средств, вложенных в товарные запасы. Товарооборачиваемость отражает среднюю скорость реализации среднего товарного запаса. Показатели товарооборачиваемости и уровня запасов тесно связаны известными моделями. Таким образом, можно проследить и установить взаимосвязь этих и других показателей коммерческой деятельности с временными характеристиками.

Следовательно, эффективность работы коммерческого предприятия или организации складывается из совокупности времени выполнения отдельных операций обслуживания, в то же время для населения затраты времени включают время на дорогу, посещение магазина, столовой, кафе, ресторана, ожидание начала обслуживания, ознакомление с меню, выбор продукции, расчет и т.д. Проведенные исследования структуры затрат времени населения свидетельствуют о том, что значительная его часть расходуется нерационально. Заметим, что коммерческая деятельность в конечном счете направлена на удовлетворение потребности человека. Поэтому усилия моделирования СМО должны включать анализ затрат времени по каждой элементарной операции обслуживания. С помощью соответствующих методов следует создавать модели связи показателей СМО. Это обусловливает необходимость наиболее общие и известные экономические показатели, такие, как товарооборот, прибыль, издержки обращения, рентабельность и другие, увязывать в экономико-математических моделях с дополнительно возникающей группой показателей, определяемых спецификой обслуживающих систем и вносимых собственно спецификой теории массового обслуживания.

Например, особенностями показателей СМО с отказами являются: время ожидания заявок в очереди , поскольку по своей природе в таких системах существование очереди невозможно, то и, следовательно, вероятность ее образования . По числу заявок определяется режим работы системы, ее состояние: при простой каналов, при обслуживание заявок, при обслуживание и отказ. Показателями таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании , вероятность обслуживания , среднее время простоя канала , среднее число занятых и свободных каналов среднее время обслуживания , абсолютная пропускная способность .

Для СМО с неограниченным ожиданием характерно, что вероятность обслуживания заявки поскольку длина очереди и время ожидания начала обслуживания не ограничены, т.е. формально и . В таких системах возможны следующие режимы работы: при наблюдается простой каналов обслуживания, при - обслуживание и при - обслуживание и очередь. Показателями эффективности таких СМО являются среднее число заявок в очереди , среднее число заявок в системе , среднее время пребывания заявки в системе , абсолютная пропускная способность .

В СМО с ожиданием с ограничением на длину очереди если число заявок в системе , то наблюдается простой каналов, при - обслуживание, при - обслуживание и очередь и при k > n+m - обслуживание, очередь и отказ в ожидании обслуживания. Показателями эффективности таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании - вероятность обслуживания , среднее число заявок в очереди , среднее число заявок в системе , среднее время пребывания заявки в системе , абсолютная пропускная способность .

Таким образом, перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом: среднее время обслуживания - ; среднее время ожидания в очереди - ; среднее время пребывания в СМО - ; средняя длина очереди - ; среднее число заявок в СМО - ; количество каналов обслуживания - ; интенсивность входного потока заявок - ; интенсивность обслуживания - ; интенсивность нагрузки - ; коэффициент нагрузки - ; относительная пропускная способность - ; абсолютная пропускная способность - ; доля времени простоя СМО - ; доля обслуженных заявок - ; доля потерянных заявок - ; среднее число занятых каналов - ; среднее число свободных каналов - ; коэффициент загрузки каналов - ; среднее время простоя каналов - .

Следует заметить, что иногда достаточно использовать до десяти основных показателей, чтобы выявить слабые места и разработать действенные рекомендации по совершенствованию СМО. Это часто связано с решением вопросов согласованной работы цепочки или совокупностей СМО.

Например, в коммерческой деятельности необходимо учитывать еще и экономические показатели СМО: общие затраты - ; издержки обращения - ; издержки потребления - ; затраты на обслуживание одной заявки - ; убытки, связанные с уходом заявки, - ; затраты на эксплуатацию канала - ; затраты простоя канала - ; капитальные вложения - ; приведенные годовые затраты - ; текущие затраты - ; доход СМО в единицу времени - .

В процессе постановки задачи необходимо раскрыть взаимосвязи показателей СМО, которые по своей базовой принадлежности можно разделить на две группы: первая связана с издержками обращения , которые определяются числом занятых обслуживания каналов, затратами на содержание СМО, интенсивностью обслуживания, степенью загрузки каналов, эффективностью их использования, пропускной способностью СМО и др.; вторая группа показателей определяется издержками собственно заявок , поступающих на обслуживание, которые образуют входящий поток, ощущают эффективность обслуживания и связаны с такими показателями, как длина очереди, время ожидания обслуживания, вероятность отказа в обслуживании, время пребывания заявки в СМО и др.

Эти группы показателей противоречивы в том смысле, что улучшение, показателей одной группы, например сокращение длины очереди или времени ожидания в очереди, например, путем увеличения числа каналов обслуживания (официантов, поваров, грузчиков, кассиров), связано с ухудшением показателей другой группы, поскольку это может привести к увеличению времени простоев каналов обслуживания, затрат на их содержание и т.д. В связи с этим при формализации задач обслуживания вполне естественно стремление построить СМО таким образом, чтобы установить разумный компромисс между показателями собственно заявок и полнотой использования возможностей системы. С этой целью необходимо выбрать обобщенный, интегральный показатель эффективности СМО, включающий одновременно претензии и возможности обеих групп. В качестве такого показателя может быть выбран критерий экономической эффективности, включающий как издержки обращения , так и издержки заявок , которые будут иметь оптимальное значение при минимуме общих затрат . На этом основании целевую функцию задачи можно записать так:

Поскольку издержки обращения включают затраты, связанные с эксплуатацией СМО - и простоем каналов обслуживания - , а издержки заявок включают потери, связанные с уходом необслуженных заявок - и с пребыванием в очереди - , тогда целевую функцию можно переписать с учетом этих показателей таким образом:

В зависимости от поставленной задачи в качестве варьируемых, т.е. управляемых показателей, могут быть: количество каналов обслуживания, организация каналов обслуживания (параллельно, последовательно, смешанным образом), дисциплина очереди, приоритетность обслуживания заявок, взаимопомощь между каналами и др. Часть показателей в задаче фигурирует в качестве неуправляемых, которые обычно являются исходными данными. В качестве критерия эффективности в целевой функции могут быть также товарооборот, доход, прибыль или, например рентабельность, тогда оптимальные значения управляемых показателей СМО находятся, очевидно, уже при максимизации указанных показателей, а не при минимизации, как в предыдущем варианте.

В некоторых случаях следует пользоваться другим вариантом записи целевой функции:

где и - соответственно издержки заявок, связанные с уходом необслуженных заявок и с пребыванием в системе.

В качестве общего критерия может быть выбран, например, уровень культуры обслуживания покупателей на предприятиях, тогда целевая функция может быть представлена следующей моделью:

где - значимость показателя устойчивости ассортимента товаров;

- коэффициент устойчивости ассортимента товаров;

- значимость показателя внедрения прогрессивных методов продажи товаров;

, - коэффициент внедрения прогрессивных методов продажи товаров;

, - значимость показателя дополнительного обслуживания;

- коэффициент дополнительного обслуживания;

- значимость показателя завершенности покупки;

- коэффициент завершенности покупки;

- значимость показателя затрат времени на ожидание в обслуживании;

- показатель затрат времени на ожидание обслуживания;

- значимость показателя качества труда коллектива;

- коэффициент качества труда коллектива;

- показатель культуры обслуживания по мнению покупателей.

Для анализа СМО можно выбирать и другие критерии оценки эффективности работы СМО. Например, в качестве такого критерия для систем с отказами можно выбрать вероятность отказа , значение которого не превышало бы заранее заданной величины. Например, требование означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности . Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов при заданной интенсивности обслуживания , либо интенсивность при заданном числе каналов.

После построения целевой функции необходимо определить условия решения задачи, найти ограничения, установить исходные значения показателей, выделить неуправляемые показатели, построить или подобрать совокупность моделей взаимосвязи всех показателей для анализируемого типа СМО, чтобы в конечном итоге найти оптимальные значения управляемых показателей, например количество поваров, официантов, кассиров, грузчиков, объемы складских помещений и др.

Рассмотрим применение методов и моделей теории массового обслуживания в алгоритме моделирования типичных для коммерческой деятельности систем массового обслуживания.

6. Модели систем

массового обслуживания

в коммерческой деятельности

 

6.1. Одноканальная СМО

с отказами в обслуживании

Проведем анализ простой одноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью . Работу одноканальной СМО можно представить в виде размеченного графа состояний рис. 6.1.

- канал обслуживания свободен; - канал занят обслуживанием.

Рис. 6.1. Размеченный граф состояний одноканальной СМО

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью , а обратный переход - под действием потока обслуживания с интенсивностью .

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложенным выше правилам:

Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности состояния :

Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент находилась в состоянии , тогда , . В этом случае решение дифференциального уравнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:

Тогда нетрудно получить выражение для определения вероятности занятости канала:

Вероятность уменьшается с течением времени и в пределе при стремится к величине

а вероятность в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при к величине

Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии

Функции и определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени , характерной для рассматриваемой системы. С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равного .

Вероятность определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени. Действительно, есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент , будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем заявок и из них обслуживается заявок. Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определяется величиной

В пределе при практически уже при значение

относительной пропускной способности будет равно

Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при , равна:

Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях

а общее число необслуженных заявок равно

Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.

Пример 1. Статистическими исследованиями в результате наблюдения установлено, что интенсивность потока телефонных звонков коммерческому директору вызова в минуту, средняя продолжительность разговора (обслуживания заявки) мин и все потоки событий (вызовов и обслуживания) имеют характер простейших пуассоновских потоков.

Определим предельную (относительную и абсолютную) пропускную способность СМО, вероятность отказа, а также полное число обслуженных и необслуженных (получивших отказ) заявок в течение 1 ч работы СМО. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, т.е. с пропускной, способностью, которой обладала бы система в том случае, если бы каждая заявка обслуживалась ровно 2,5 мин и все заявки следовали бы одна за другой без перерыва.

Решение.

Размеченный граф состояний этой СМО приведен на рис. 6.1. Целевая функция может быть записана в общем виде следующим образом:

Определяем:

интенсивность потока обслуживания (заявок в минуту) -

Следует заметить, что постоянная времени мин, тогда переходный процесс в СМО завершается через мин;

относительную пропускную способность или вероятность того, что канал свободен —

абсолютную пропускную способность

(заявки в минуту);

вероятность занятости канала -

Число заявок, обслуженных в течение часа, составляет: заявок, а получивших отказ - заявки.

В этих же условиях номинальная производительность равна заявкам в час, т.е. фактическая производительность, учитывающая случайный характер процесса, происходящего в СМО, составляет только 75%=18:24*100% от номинальной. Таким образом, СМО может обслуживать только 25% всех поступивших заявок. Очевидно, что работу такой СМО вряд ли можно считать удовлетворительной. Что же нужно сделать, чтобы повысить относительную пропускную способность одноканальной СМО. Этого можно добиться либо снижением интенсивности потока заявок , что по условию невозможно, либо увеличением интенсивности обслуживания , либо увеличением каналов обслуживания. При этом уменьшится отношение фактической производительности СМО к номинальной , что можно записать так:

что свидетельствует о том, что это есть величина .

Из приведенных выражений видно, что с ростом производительности канала обслуживания относительная пропускная способность СМО довольно медленно приближается к 100%. При этом величина уменьшается, стремясь к 0. Это значит, что влияние случайного процесса в СМО увеличивается с ростом отношения . Действительно, из интуитивных соображений, казалось бы, превышение интенсивности обслуживания над интенсивностью поступления заявок, например, в три раза должно приводить к полному обслуживанию всех поступающих заявок. Практически необслуженными все еще будут оставаться в среднем 25% из числа поступивших заявок. Соответственно фактическая производительность СМО составляет только 25% от номинальной. Все это есть прямое следствие вероятностного характера протекающего в СМО процесса.

Пример 2. В Одессе на Дерибасовской, угол Ришельевской, сидит сапожник и выполняет заказы по ремонту обуви. В среднем он выполняет заказ в течение 30 мин. Рядом с сапожником расположено одно кресло, в котором заказчик ожидает выполнение заказа. Сапожник не имеет постоянных заказчиков, и клиенты приходят к нему независимо друг от друга в среднем каждые 40 мин. Клиенты - народ нетерпеливый, поэтому в случае занятости сапожника они уходят к другому.

Определим долю потери клиентов, долю времени простоя и отношение - «заработанные деньги / потерянные деньги», если средняя стоимость ремонта составляет 55 руб.

Решение.

Одноканальная СМО (см. рис. 6.1) может находиться в одном из двух возможных состояний: - свободен, - занят, вероятности состояний которых обозначим соответственно и . Очевидно, для любого момента времени справедливо записать:

Из состояния в систему переводит поток заявок с интенсивностью , а обратно из состояния в поток обслуживания с интенсивностью .

Система дифференциальных уравнений Колмогорова может быть записана следующим образом:

Составим систему уравнений для финальных вероятностей:

Решая эту систему, находим среднюю долю обслуживаемых заявок , следовательно, 57% клиентов из числа поступивших будут обслужены.

Средняя доля необслуженных клиентов составляет , следовательно, 43% клиентов из числа поступивших получат отказ.

Средний доход, получаемый сапожником от обслуживания клиентов, определяется умножением среднего количества обслуженных клиентов ( ) от общего числа поступивших на величину средней стоимости ремонта 55 руб., а средняя величина потерянного дохода определяется умножением среднего числа необслуженных клиентов ( ) на величину средней стоимости ремонта. На этом основании отношение «заработанные деньги/потерянные деньги» для сапожника равно:

следовательно, это выражение не зависит от величины средней стоимости ремонта и равно:

Обратная величина, определяющая отношение «потерянные деньги/ заработанные деньги» равна:

что свидетельствует о том, что потери составляют ощутимую долю.