3.5. Процессы «рождения-гибели»
Среди однородных марковских процессов существует класс случайных процессов, имеющих широкое применение при построении математических моделей в областях демографии, биологии, медицины (эпидемиологии), экономике, коммерческой деятельности. Это так называемые процессы рождения-гибели, марковские процессы со стохастическими графами состояний следующего вида:
Рис. 3.3. Размеченный граф процесса "рождения-гибели"
Этот граф
воспроизводит известную биологическую
интерпретацию: величина
отображает интенсивность рождения
нового представителя некоторой популяции,
например, кроликов, причем текущий объем
популяции равен
;
величина
является интенсивностью гибели (продажи)
одного представителя этой популяции,
если текущий объем популяции равен
.
В частности, популяция может быть
неограниченной (число
состояний марковского процесса является
бесконечным, но счетным), интенсивность
может быть равна нулю (популяция без
возможности возрождения), например при
прекращении воспроизводства кроликов.
Для марковского
процесса рождения-гибели, описанного
стохастическим графом, приведенным на
рис. 3.3, найдем финальное распределение.
Пользуясь правилами составления
уравнений для конечного числа
предельных вероятностей состояния
системы
,
,
,…,
,…,
,
составим соответствующие уравнения
для каждого состояния:
для состояния
;
для состояния
,
которое с учетом предыдущего уравнения
для состояния
можно преобразовать к виду
.
Аналогично можно составить уравнения для остальных состояний системы , ,…, ,…, . В результате получим следующую систему уравнений:
Решая эту систему уравнений, можно получить выражения, определяющие финальные состояния системы массового обслуживания:
Следует заметить,
что в формулы определения финальных
вероятностей состояний
,
,
,…,
,
входят слагаемые, являющиеся составной
частью суммы выражения, определяющей
.
В числителях этих слагаемых находятся
произведения всех интенсивностей
стоящих у стрелок графа состояний,
ведущих слева направо до рассматриваемого
состояния
,
а знаменатели представляют собой
произведения всех интенсивностей,
стоящих у стрелок, ведущих справа налево
до рассматриваемого состояния
,
т.е.
,
,
,
,…,
.
В связи с этим запишем эти модели в более
компактном виде:
Рассмотрим применение полученных моделей для анализа системы массового обслуживания.
Пример 1. Узел расчета мини-маркета состоит из двух кассовых аппаратов, размеченный граф состояний которого имеет вид, изображенный на рис. 3.4.
- состояние, когда
обе кассы свободны;
- одна касса занята (любая из двух);
- обе кассы замяты.
Рис. 3.4. Размеченный граф состояний СМО
Найдем предельные
вероятности
,
,
при следующих исходных данных:
Составим систему алгебраических уравнений для вероятностей переходов:
В результате
решения этой системы получаем значения-
предельных вероятностей:
;
;
.
Следовательно, доля времени простоя
узла расчета, когда нет заявок
,
составляет 20,4% от всего рабочего времени,
34,1 и 45,5% - от всего времени работы в
системе обслуживания находятся
соответственно одна и две заявки.
Рассмотренный граф является частным
случаем непрерывной марковской цепи -
так называемой "цепи размножения-гибели".
Этот граф представляет собой одну
цепочку, в которой каждое из состояний
связано прямой и обратной связью с
соседними состояниями. Во многих случаях
задачи массового обслуживания могут
быть решены путем построения и анализа
соответствующей цепи «рождения-гибели».