6.6. Многоканальная смо с неограниченной очередью
Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает поток заявок с интенсивностью и которая имеет интенсивность обслуживания каждого канала . Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.7. Он имеет бесконечное число состояний:
Рис. 6.7. Размеченный граф состояний многоканальной СМО
с неограниченной очередью
Вероятности
состояний получим из формул для
многоканальной СМО с ограниченной
очередью при переходе к пределу при
.
Следует заметить, что сумма геометрической
прогрессии в выражении для
расходится при уровне загрузки
,
очередь будет бесконечно возрастать,
а при
ряд сходится, что определяет установившийся
стационарный
режим
работы СМО,
для которого и определим выражения для
предельных вероятностей состояний:
Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:
среднее число заявок в очереди -
среднее время ожидания в очереди -
среднее число заявок в СМО -
Вероятность того, что СМО находится в состоянии , когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением
Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания.
Вероятность занятости обслуживанием заявок -
На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием.
Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением.
Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием.
Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:
среднее время ожидания заявки в очереди начала обслуживания:
среднее время пребывания заявки в СМО -
среднее число занятых каналов обслуживанием равно -
среднее число свободных каналов –
коэффициент занятости каналов обслуживанием -
среднее число заявок в СМО -
Важно заметить,
что параметр
характеризует степень согласования
входного потока, например, покупателей
в магазине с интенсивностью потока
обслуживания. Процесс обслуживания
будет стабилен при
.
Если же
,
в системе будут возрастать средняя
длина очереди и среднее время ожидания
покупателями начала обслуживания, и,
следовательно, СМО будет работать
неустойчиво.
Рассмотрим применение моделей для анализа работы СМО с ожиданием на нескольких примерах.
Пример 1.
В столовой к узлу расчета поступает
пуассоновский поток посетителей с
интенсивностью
человек в час. Средняя продолжительность
обслуживания контролером-кассиром
одного посетителя составляет
мин. Определим оптимальное число
контролеров-кассиров
,
при котором общие издержки
,
определяемые затратами, с одной стороны,
на содержание контролеров-кассиров
,
а с другой - пребыванием посетителей в
очереди
,
были бы минимальны.
На этом основании целевую функцию можно записать так:
Издержки определяются числом каналов обслуживания , величиной затрат, связанных с содержанием в системе одной обслуживающей единицы в течение одной единицы времени (руб./ч ) и интенсивностью входного потока .
Издержки потребления
,
определяются величиной удельных потерь
,
связанных с пребыванием в очереди одного
покупателя в течение единицы времени
и средним временем ожидания в очереди
.
Тогда целевую функцию затрат, связанную
с пребыванием покупателей в системе в
течение единицы времени, можно записать
так:
Для удобства
проведения вычислений предположим, что
,
что позволит определить соотношение
стоимостей обслуживания для разных
вариантов организации системы. Для
наглядности решения задачи построим
график целевой функции
,
по которому найдем минимум затрат,
величина которого укажет на оптимальную
численность контролеров-кассиров.
Следует заметить,
что длина очереди - один из основных
показателей эффективности СМО. Причем
если длина очереди в системе может
бесконечно возрастать, то рациональной
организации системы нельзя получить.
Только при условии
очередь может быть конечна, т. е. число
заявок, поступающих в СМО за промежуток
времени, равный средней длительности
обслуживания
,
меньше числа обслуживающих каналов.
Это обусловлено вероятностным характером
как потока заявок, так и временем их
обслуживания. Поэтому о рациональности
варианта организации СМО можно рассуждать
лишь в том случае, если
. Поскольку из условия задачи следует,
что интенсивность нагрузки
,
то вычисления показателей системы
следует начать с
.
Сначала определяем долю времени простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня, т.е. при условии отсутствия покупателей.
Следовательно, 3 контролера-кассира будут простаивать 11% времени от всей продолжительности рабочего дня. Результаты вычислений запишем в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми определяется по формуле Эрланга.
Вероятность оказаться в очереди -
среднее число покупателей, находящихся в очереди, -
среднее время ожидания покупателями в очереди начала обслуживания -
относительная
величина затрат для
и
составляет:
среднее время пребывания посетителя в узле расчета-
среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров-
среднее число свободных контролеров-кассиров -
Коэффициент занятости контролеров-кассиров обслуживанием, т. е. нагрузка на одного контролера-кассира, или доля занятых обслуживанием каналов, составляет
Среднее число покупателей в узле расчета -
абсолютная пропускная способность узла расчета в столовой -
Затем проводим
аналогичные вычисления по определению
перечисленных показателей для других
значений
и результаты запишем в табл. 6.2 и представим
в виде рис. 6.8. По данным таблицы следует,
что оптимальное число контролеров-кассиров
в узле расчета
для соотношения
,
при этом общие затраты будут минимальными.
Рис. 6.8. Графическая модель связи относительно затрат СМО
и числа кассиров
Для целей расширения
анализа проведены вычисления для разных
вариантов соотношения
,
которое, по данным таблицы, влияет на
оптимальную численность контролеров-кассиров.
Пример 2. В расчетном узле магазина самообслуживания работают 3 кассы. Интенсивность входного потока составляет 5 покупателей в минуту. Интенсивность обслуживания каждого контролера-кассира составляет 2 покупателя в минуту. Определим характеристики СМО и дадим оценку ее работы.
Решение.
Определяем характеристики системы массового обслуживания:
интенсивность нагрузки -
поскольку условие устойчивой работы выполнено 2,5 < 3, то можно определять предельные вероятности состояний;
доли времени простоя узла расчета -
вероятность того, что заявка окажется в очереди -
средняя длина очереди -
среднее время пребывания в очереди -
среднее число покупателей в магазине -
среднее количество занятых каналов -
коэффициент занятости каналов -
среднее время пребывания заявки в магазине -
Доля времени
простоя расчетного узла в магазине
самообслуживания составляет всего 4,5%
от продолжительности рабочего дня, а
вероятность оказаться в очереди велика
- 58,6%, длина очереди небольшая - всего
3,5 покупателя, время ожидания в очереди
— 0,7 мин, а коэффициент занятости каналов
-83,3%, поэтому система работает
удовлетворительно. Следует иметь в
виду, что при увеличении интенсивности
входного потока
,
может нарушиться стационарный режим
работы СМО, и при
очередь будет нарастать, и система не
будет справляться с обслуживанием.
Пример 3. В магазине самообслуживания установлены два кассовых аппарата. Интенсивность входного потока в будние дни в среднем составляет 1,3 покупателя в минуту до обеда, 1,8 покупателя/мин - после обеда, а в субботу и воскресенье - в среднем 2,2 покупателя/мин. Среднее время обслуживания покупателя контролером-кассиром составляет 52 сек. Проведем анализ работы системы массового обслуживания магазина.
Решение.
Определяем характеристики СМО отдельно для каждого варианта значения интенсивности входного потока:
интенсивность нагрузки -
поскольку , то , и, следовательно, возможен стационарный режим работы, при котором
доля времени простоя кассиров -
вероятность оказаться в очереди -
среднее число покупателей в очереди -
среднее число покупателей в магазине -
среднее число занятых каналов -
среднее время пребывания заявки в очереди -
среднее время пребывания заявки в магазине -
коэффициент занятости каналов -
Интенсивность входного потока влияет на все характеристики СМО, доля времени простоя уменьшается до 2,5%, вероятность образования очереди увеличивается до 0,86, среднее число покупателей в очереди увеличивается до 17 человек, что уже недопустимо, поскольку потенциальные покупатели будут уходить к конкурентам, что в конечном итоге приведет к уменьшению длины очереди и снижению экономических показателей, поэтому необходимо ориентироваться на покупателей и стремиться обслужить всех путем введения дополнительного кассового аппарата после обеда и в субботние, и воскресные дни, ориентируясь на режим работы с длиной очереди в 3 покупателя.