6.4. Одноканальная смо с неограниченной очередью

В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, налоговой полиции, милиции, товароведов, маркетологов, поставщиков продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу). Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием. Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , и интенсивностью обслуживания . Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания. Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис.6.5.

Количество возможных состояний ее бесконечно:

Рис. 6.5. Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выведенных для СМО с ограниченной очередью, путем перехода к пределу при :

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем . Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при . Эта сумма сходится, если прогрессия бесконечно убывающая при , что определяет установившийся режим работы СМО, а при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому следовательно, относительная пропускная способность , соответственно , а абсолютная пропускная способность .

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

среднее число заявок в очереди -

среднее число заявок в системе -

среднее время ожидания обслуживания в очереди -

среднее время пребывания заявки в системе -

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания , то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при , .

Пример 1. Булочная «Горячий хлеб» имеет одного контролера-кассира. В течение часа приходят в среднем 54 покупателя. Средняя" стоимость одной покупки составляет 7 руб. Среднее время обслуживания контролером-кассиром одного покупателя составляет 1 мин. Определим выручку от продажи, характеристики СМО и проведем анализ ее работы.

Решение.

По условиям задачи , ед/ч, ед/ч, и поскольку , то очередь не будет расти бесконечно, следовательно, предельные вероятности существуют:

вероятность того, что контролер-кассир свободен -

вероятность того, что контролер-кассир занят работой -

среднее число покупателей в очереди -

среднее время ожидания в очереди -

среднее время пребывания покупателя в булочной -

среднее число покупателей в булочной -

вероятность того, что в булочной находятся один, два, три, четыре человека, а следовательно, ожидают расчета в очереди у контролера-кассира 1, 2, 3 человека соответственно -

вероятность того, что ожидают расчета у контролера-кассира не более трех человек, равна -

Доля времени простоя контролера-кассира составляет всего 10% от продолжительности рабочего дня, однако время ожидания обслуживания в очереди ощутимо - 9 мин, поэтому следует уменьшать время обслуживания (обе, введя дополнительный кассовый аппарат и соответственно контролера-кассира, иначе покупатели будут уходить в другое торговое предприятие, что приведет к ухудшению экономических показателей хозяйственной деятельности, в частности к уменьшению выручки от продажи хлеба и образованию остатков хлеба на следующий день и к потере его качества.

Пример 2. Интенсивность потока автомобилей на АЗС к колонке за бензином АИ-92 составляет 30 автомобилей в 1 ч, а среднее время заправки равно 5 мин. Проведем анализ работы системы массового обслуживания АЗС. Определите отношение зарплаты контролера-кассира АЗС к, например, вашей, уважаемый читатель.

Решение.

Определим характеристики СМО:

интенсивность нагрузки

Поскольку , то АЗС не будет работать в стационарном режиме, и очередь будет постоянно увеличиваться, поэтому необходимо ввести еще одну колонку с бензином АИ-92 или уменьшить время обслуживания до величины мин, тогда , следовательно, и возможен стационарный режим работы на бензозаправочной станции.

Пример 3. В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15, так и во вторую - с 15 до 21, работают по одному мастеру. Провести анализ работы системы обслуживания. Определить отношение зарплаты за месяц парикмахера к вашей, уважаемый читатель.

Решение.

Находим интенсивность нагрузки:

долю времени простоя мастера:

вероятность того, что мастер занят работой:

среднее число клиентов в очереди:

среднее время ожидания в очереди:

среднее время пребывания клиентов в парикмахерской:

Система работает вполне удовлетворительно. Поскольку , то режим работы системы устойчивый, 20% рабочего времени мастер не занят, а остальные 80% времени занят работой, длина очереди 3,2 клиента небольшая, а среднее время пребывания клиента в парикмахерской всего 21,34 мин. Если интенсивность появления клиентов увеличится, например, до клиентов/ч, то интенсивность нагрузки составит и очередь будет постоянно увеличиваться, что приведет к неустойчивому режиму работы СМО.