50)Интеграл с переменным верхним пределом.

Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и  .  Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе. 

По существу, любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой  . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

51)Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство:

52)Формула замены переменной в определённом интеграле.

Определенный интеграл   по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g ^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g ^-1(x). 

53)Формула замены переменной в определённом интеграле.

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где   означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a. 

56)Формула трапеций и формула Симпсона.

57)Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Несобственным интегралом (нс. и.) от непрерывной на функции (х) называется

58)Несобственные интегралы от разрывных функций.

Пусть функция f(x) непрерывна при a ≤ x < b и имеет точку разрыва при x = b. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции определяется формулой

    

и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или не существует предел правой части равенства.

59)Понятие функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R²={(х,y)} на плоскости, т.е. DМ R², а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т.е.ZМ R.

Соотношение между множеством D и множеством Z, при котором каждому элементу (х,y) множества D соответствует один и только один элемент z множества Z, называется функцией двух переменных.

Множество D называется областью определения функции и обозначается D(z).

Для функции двух переменных вводится обозначение

z=f(х;y), (х;y) О D(z).

Геометрическим изображением функции двух переменных z=f(x; y) будет служить некоторая поверхность, которая может быть названа графиком этой функции (рис.).

60)Предел и непрерывность фнп.

Число А называется пределом функции нескольких переменных f в точке М₀, если        такое, что | f(M) – A| < ε для любой точки М из δ-окрестности М₀.

Функция f  называется непрерывной в точке М₀ , если  .

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных   в точке   частные производные определяются так: ,        .

  .                                              (1)       Если приращение (1) можно представить в виде        ,                                                        (2) Где Аи В не зависят от   и  , а   и   стремятся к нулю при стремлении к нулю   и  , то функция   называется дифференцируемой в точке  , а линейная часть   приращения функции (т.е. та часть  , которая зависит от    и   линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке   и обозначается символом  :                                     .                                                                      (3) Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке  , то она в этой точке непрерывна.