- •Модуль числа
- •Предел чп. Теоремы о пределах.
- •Понятие функции. Предел функции в точке.
- •9,11)Непрерывность функции в точке, интервале и отрезке и их св-ва.
- •10)Точки разрыва и их классификация.
- •12)Понятие производной.
- •15)Правила дифференцирования.
- •16)Производные сложных функций.
- •17)Таблица производных.
- •18)Производные сложных функций
- •19)Дифференцирование функций заданных неясно.
- •24)Теорема Ферма.
- •25)Теорема Ролля.
- •26)Теорема Лагранжа.
- •27)Теорема Коши.
- •28)Правило Лопиталя.
- •29)Формулы Тейлора и Маклорена.
- •30)Разложение функций в ряд Маклорена.
- •31)Возрастание и убывание функции.
- •32)Экстремумы Функции.
- •33,34)Точки перегиба.
- •Вертикальная
- •Горизонтальная
- •Наклонная
- •35)Схема исследования функции.
- •36)Понятие первообразной и неопределённого интеграла.
- •37)Свойства неопределённого интеграла.
- •38)Таблица интегралов.
- •39)Формулы замены переменной и интегрирования по частям.
- •46)Интегрирование иррациональных Функций.
- •47)Интегрирование Тригонометрических Функций.
- •48,49)Определённый интеграл.
- •50)Интеграл с переменным верхним пределом.
- •60)Предел и непрерывность фнп.
- •62)Производная сложной фнп.
- •Связь с градиентом
- •65)Понятие экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
- •67)Понятие числового ряда и его сходимости.
- •68)Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •70)Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.
- •71)Абсолютная и условная сходимость знакопеременных числовых рядов.
- •72)Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
- •74)Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •75)Уравнения с разделяющимися переменными и их решение.
- •76)Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Модуль числа
Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число: |а| = а
Модулем отрицательного действительного числа a называют противоположное число: |а| = - а.
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а| = |а|
Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков: |0| = 0
На практике используют различные свойства модулей:
|а| ≥ 0
|а·b| = |а| · |b|
|а|n = аn , n є Z, a ≠ 0, n > 0
|а| = | - а|
|а + b| ≤ |а| + |b|
|а·q| = q·|а| , где q - положительное число
|а|2 = а2
ЧП
Если каждому натуральному числу н поставлено в соответствие число хн, то говорят, что задана последовательность х1, х2,...,хн={хн}
Для последовательностей можно определить следующие операции:
1) умножение последовательности на число м: м{хн}={мхн}, то есть мх1, мх2,...,мхн
2) сложение (вычитание) последовательностей: {хн}+/-{ун}={хн+/-ун}
3) произведение последовательностей: {хн}*{ун}={хн*ун}
4) частное последовательностей: {хн}/{ун}, при ун=0
Последовательность {хн} называется ограниченной, если существует такое число М>0 (М - конечное число), что для любого н верно неравенство: |хн|<М, то есть все члены последовательности принадлежат промежутку (-М;М).
Последовательность {хн} называется ограниченной сверху, если для любого н существует такое число М, что хн<=М.
Последовательность {хн} называется ограниченной снизу, если для любого н существует такое число М, что хн>=М.
Предел чп. Теоремы о пределах.
Число а называется пределом последовательности {хн}, если для любого положительного числа епсилон>0 существует такой номер N, что для всех номеров н>N выполняется условие: |хн - а|<епсилон.
Это записывается: lim хн=а или хн->а.
Говорят, что {хн} сходится к числу а при н-> бесконечность
Свойство: если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Последовательность без придела - расходящаяся.
Теорема:
Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство:
предположим, что последовательность {хн} имеет два предела а и б, не равные друг другу, то есть хн->а; хн->б; а!=б.
Тогда по определению существует такое число епсилон>0, что:
|а-хн|< епсилон/2; |б-хн|<епсилон/2; х принадлежит (а-епсилон/2, а+епсилон/2), (б-епсилон/2,б+епсилон/2).
Выполним оценку:
|а-б|=|(а-хн)+(хн-б)|<=|а-хн|+|хн-б|<епсилон/2+епсилон/2=епсилон.
Так как епсилон - любое число, то |а-б|=0, то есть а=б.
|а-б|<епсилон.
Теорема. Если хн->а, то последовательность {хн} ограничена. А - конечное число.
Обратное утверждение не верно, то есть из ограниченной последовательности не следует ее сходимость.
Монотонные последовательности:
1) если хн+1>хн для всех н, то последовательность возрастающая;
2) если хн+1>=хн для всех н, то последовательность неубывающая.
3) если хн+1<хн для всех н, то последовательность убывающая;
4) если хн+1<=хн для всех н, то последовательность невозрастающая.
Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример: {хн}=1/н - убывающая и ограниченная, н-> бесконечность, 1/н ->0. {хн}=н - возрастающая и неограниченная.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.