65)Понятие экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.

Пусть функция нескольких переменных   u = f(x₁, x₂, … , x_n) = f(x)  определена в некоторой окрестности точки   x₀ = (a₁, a₂, … , a_n) .

Точка x₀ называется точкой локального максимума (локального минимума) функции u = f(x) , если существует такая окрестность O_δ(x₀) точки x₀ , что для всех точек   xО O_δ(x₀) выполняется неравенство   f(x) ≤ f(x₀)   (f(x) ≥ f(x₀)) .

Значение функции u = f(x₀) в этой точке называется локальным максимумом (или локальным минимумом) функции и обозначается u_max (или u_min ).

Если при x ≠ x₀ имеет место неравенство f(x) ≠ f(x₀) , то точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а максимумы и минимумы — экстремумами функции.

Теорема (Необходимое условие экстремума) Если функция нескольких переменных u = f(x₁, x₂, … , x_n) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует.

Доказательство для функции двух переменных приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 160).

Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.

В стационарной точке   (x₀, y₀) функции f(x, y) существуют частные производные f'_x ,   f'_y   и   f'_x(x₀, y₀) = 0 ,   f'_y(x₀, y₀) = 0

Пусть функция   u = f(x₁, x₂,  … , x_n)  имеет непрерывные частные производные до 2–го порядка включительно в некоторой окрестности ее стационарной точки  M₀(x₁⁰, x₂⁰,  … , x_n⁰) .

Пусть   M(x₁⁰ + dx₁, x₂⁰ + dx₂,  … , x_n⁰ + dx_n) — некоторая точка из этой окрестности. Тогда

Δu = f(x10 + dx1,x20 + dx2, … ,xn0 + dxn) − f(x10,x20, … ,xn0)

— приращение функции, которое она получает при смещении из точки M₀ в точку M .

По формуле Тейлора имеем

где ρ — расстояние между точками M₀ и M .

Так как M₀ — стационарная точка функции u = f(x₁, … ,x_n) , то dz(M₀) = 0 .

Допустим, что d²z(M₀) ≠ 0 для всех точек M из некоторой окрестности O_δ(M₀), достаточно малой, чтобы в ней выполнялось неравенство |d²z(M₀)| > |o(ρ²)| . Тогда знаки Δz иd²z(M₀) одинаковы .

Если d²z(M₀)>0 для всех точек M из окрестности O_δ(M₀) то и Δz > 0. В этом случае функция u = f(x₁, … ,  x_n) имеет минимум в точке M₀ .

Если d²z(M₀)<0 для всех точек M из окрестности O_δ(M₀), то и Δz < 0. В этом случае функция u = f(x₁, … ,x_n) имеет максимум в точке M₀ .

Таким образом, достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2–го порядка в этой точке.

Достаточные условия экстремума функции 2–х переменных

Теорема. Пусть функция z = f(x, y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в стационарной точке   M(x₀, y₀) (т.е.   z'_x (x₀, y₀) = z'_y(x₀, y₀) = 0 ):

A = z''xx(x0, y0),  B = z''xy(x0, y0),  C = z''yy(x0, y0).

Тогда:

• если AC − B²0 , то M — точка экстремума, причем при A0 — точка минимума, при A<0 — точка максимума;

• если AC − B²<0 ,  то M не является точкой экстремума;

• если AC − B² = 0 , то требуется дополнительное исследование.