48,49)Определённый интеграл.

Пусть функция  f(x)  определена на отрезке  [a,  b].  Разобьем отрезок  [a, b ]  на n отрезков точками

x0 = a < x1 < … < xk − 1 < xk < … < xn − 1 < xn = b

и введем обозначения

Δxk = xk − xk − 1  (k = 1, …,n);    λ =  max 1 ≤ k ≤ n  Δxk.

На каждом отрезке  [x _{k − 1}, x _k]  выберем произвольным образом точку  ξ_k  (k = 1, …,n)  и составим сумму

n ∑ k = 1  f(ξk) · Δxk ,

(5)

называемую (римановой) интегральной суммой функции  f(x)  на отрезке  [a, b ].

Если существует конечный предел интегральных сумм (5) при  λ → 0,  причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка  [a , b]  на части, ни от выбора точек  ξ_k,  то функция  f(x)  называется интегрируемой (по Риману) на отрезке  [a, b ],  а указанный предел называется (римановым) определенным интегралом от   f(x)  по отрезку  [a, b ]  и обозначается символом

b ∫ a  f(x) dx .

Таким образом,

b ∫ a  f(x)  dx   =  lim λ → 0   n ∑ k = 1  f(ξk) · Δxk .

Замечание. Данное Риманом определение интеграла оказалось неудачным. Современная терия интегрирования опирается на определение, данное Лебегом. Она гораздо более мощная и простая в применениях, чем теория Ремана.

3. Необходимое условие интегрируемости

Теорема 1. Если функция  f(x) интегрируема на отрезке  [a,  b],  то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова “Курс высшей математики : Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения”. М. : Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 41.)

Замечание. Ограниченность функции не является достаточным условием ее интегрируемости.

Достаточные условия интегрируемости

Теорема 2. Если выполнено одно из следующих условий :

• функция  f(x)  непрерывна на отрезке  [a, b ];

• функция  f(x) ограничена на отрезке  [a, b]  и имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва;

• функция  f(x)  монотонна на отрезке  [a, b],

то  f(x)  интегрируема на отрезке  [a, b] и, следовательно,

b ∫ a    f(x)  dx

существует.

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.