4. Понятие функции. Предел функции в точке.

Понятие функции

Пусть х и у - некоторые числовые множества, и пусть каждому числовому значению переменной х из множества Х по заданному закону соответствует числовое значение переменной у из множества У, то говорят, что функция определена у=f(x). 

Х называется независимой переменной (аргументом), у - зависимой переменной, множество Х - область определения, У - область значений функции y=f(x). 

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определив в некоторой окрестности точки х=а (то есть в самой точке х=а функция может быть и не определена). 

Число А называется пределом функции f(x) при х->а, если для любого епсилон>0 существует такое число дельта>0, что для всех х таких, что |х^н-а|< дельта верно неравенство |f(x)-A|< епсилон. 

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а-дельта<х<а+дельта, х!=а, то верно неравенство А-епсилон<f(x)<A+епсилон

Если f(x)->A1 при х->a только при х<a, то - называется приделом функции f(x) в точке х=а слева, а если f(x)->A2 при х->а только при х>a, то называется пределом функции f(x) в точке х=a справа. 

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х=a. 

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

Число А называется пределом функции f(x) при х стремится к бесконечности, если функция f(x) определена в окрестности бесконечности и для любого числа епсилон>0 существует такое число М>0, что для всех х, |х|>М выполняется неравенство |f(x)-A|<епсилон. Записывают: lim x->бесконечности f(x)=A. 

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если С=const, то lim x->a C=C. 

Пусть функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х->а lim x->a f(x) lim x->a g(x), тогда имеют место следующие 

теоремы:

Теорема 2. Lim x->a C * f(x)= C*lim x->a f(x)

Теорема 3. Lim x->a (f(x)+/-g(x))=lim x->a f(x) +/- lim x->a g(x). 

Теорема 4. Lim x->a [f(x)*g(x)]=lim x->a f(x) * lim x->a g(x). 

Теорема 5. Lim x->a f(x)/g(x)=lim f(x)/lim g(x) при lim g(x)!=0. 

Теорема 6. Если f(x)>0 вблизи точки х=а и lim f(x)=A, то А>0, аналогично ппри f(x)<0, f(x)>=0, f(x)<=0. 

Теорема 7. Если g(x)<=f(x)<=u(x) вблизи точки х=а и lim g(x)=lim u(x)=A, то lim f(x)=A. 

Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х=а, если существует такое число М>0, что |f(x)|<M вблизи точки х=а. 

Теорема 8. Если функция f(x) имеет конечный предел при х->а, то она ограничена вблизи точки х=а. 

Доказательство: пусть lim f(x)=A, |f(x)-A|<e,

|f(x)|=|f(x)-A+A|<=|f(x)-A|+|A| или |f(x)|<e+|A|, то есть М=е+|А|.

5. Некоторые замечательные пределы.

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

6. Понятие бесконечно малых функций и их св-ва.

Бесконечно малая — числовая функция, которая стремится к нулю.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то f(x) − a = α(x),  .

7)Бесконечно большие функции и их связь с БМФ.

Бесконечно большая— числовая функция, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

8)Сравнение бесконечно малых функций.

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если  , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).

• Если  , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).

• Если   (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).

• Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.