74)Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Таким образом общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий

                                                     ,                                                   (7,4)

где F – некоторая функция от   переменных  , x – независимая переменная, а   – функция от x. Причем в частных случаях в это уравнение могут не входить   и отдельные производные порядка ниже чем n.

Решением дифференциального уравнения (7,4) называется такая дифференцируемая функция  , которая при подстановке ее в это уравнение, обращает его в тождество.

Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения (7,4)  -го порядка называется такое его решение

                                                   ,                                                        (7,5)

которое является функцией переменной   и   произвольных независимых постоянных  . (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними). Если общее решение задано в неявном виде

,

то его называют общим интегралом.

75)Уравнения с разделяющимися переменными и их решение.

Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида

f(x)dx + g(y)dy = 0

с непрерывными функциями f(х) и g(y).

Равенство

где C — произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Начальное условие для уравнения  f(x)dx + g(y)dy = 0 можно задавать в виде y(x₀) = y₀ или в виде x(y₀) = x₀ .

 

Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида

f₁(x)g₁ (y)dx + f₂(x) g₂(y)dy =0 .

Функции f₁(x), g₁(y), f₂(x), g₂(y) непрерывны в cвоих областях определения и g₁(y)f₂(x) ≠ 0 .

 

Разделив обе части уравнения на отличное от нуля произведение g₁(y)f₂(x), получим уравнение с разделенными переменными

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Решение уравнения в области, где g₁(y)f₂(x) = 0 требует специального обсуждения.

76)Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x₀)=y₀, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение.  Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называютчастным решением.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. 

Если функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D, (x₀, y₀)ОD, то на некотором интервале (x₀-h, y₀+h) существует единственное решение y=y(x) уравненияy'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀.

Теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию: если условия теоремы выполнены в области D, то через каждую точку (x₀, y₀)ОD проходит только одна интегральная кривая y=y(x,C₀) семейства y=y(x,C) такая, что y(x₀,C₀)=y₀.