67)Понятие числового ряда и его сходимости.

Бесконечным числовым рядом называется выражение

u1+u2+...+un+... ,

(1)

содержащее неограниченное число членов, где

u₁ , u₂ , u₃ , ... , u_n , ...

- бесконечная числовая последовательность; u_n называется общим членом ряда.   Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.   Например, если u_n = 2*n+1, то ряд имеет вид:

3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1

  Если u_n = (-1)ⁿ, то ряд имеет вид:

-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)ⁿ

  Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

S_n = u₁ + u₂ + ... + u _n

или, короче,

  Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®Ґ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.   Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u₁ + u₂ + ... + u _n + ...

  Если же при n®Ґ сумма S_n не имеет предела или

то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.

68)Необходимое условие сходимости числового ряда.

Если ряд   сходится, то  .

 

Данный признак означает, что если  , то ряд расходится. Например,   расходится, так как  . Из выполнения условия    в общем случае не следует сходимость ряда  . Например, для ряда   (гармонический ряд), условие   выполнено, но данный ряд расходится.

Если  , и  ряд   сходится, то сходится и  ряд  .

Если  , и  ряд   расходится, то расходится и  ряд  .

Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:

Если заданы ряды  ,   и существует     , то ряды   и   сходятся либо расходятся одновременно.

70)Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.

Ряд   сходится, если:

-        ;

-        .

 

Знакопеременный ряд   называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд  .

Если ряд   сходится, а ряд   расходится, то ряд   называют сходящимся условно.

 

Очевидно, что если ряд   сходится, то ряд   также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно.

71)Абсолютная и условная сходимость знакопеременных числовых рядов.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда являетсязнакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд   также сходится.  Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. 

72)Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера: