1. Предмет и задачи теории вероятностей. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Теорема о числе комбинаций. Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая закономерности,возник. в случайных явлениях. Объектами изучения теории вероятностей являются случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайным в теории вероятностей называют событие, которое при данном испытании, в данном опыте может либо произойти, либо не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления.Эл-ты комбинаторики:сочетание- наборы,составленные из n разл-х эл-в по m, кот отлич-ся хотя бы 1 эл-м Разменщение- наборы,сост-е из n различных эл-в по m эл-м,кот отлич.либо составом, либо порядком Перестановки- наборы,сост-е из одних и тех же n разл-х эл-в, и отлич. тольео порядком их распред-я. , Решение большинства комбинаторных задач основано на применении двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы: Если элемент А можно выбрать т способами, а элемент В – п способами (причем, ни один из способов выбора элемента А не совпадает со способом выбора элемента В), то выбрать А или В можно т + п способами.Правило произведения: Если элемент А можно выбрать т способами и после каждого такого выбора элемент В можно выбрать п, то выбрать упорядоченную пару (А,В) можно тхп способами.

6. Зависимые и независимые события. События независимые в совокупности. Попарно независимые события. Если при наступлении события _А вероятность события _В не меняется, то события _{А и В} и называются независимыми.Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий _А и В (произведения А и В ) равна произведению вероятностей этих событий: P(A B)=P(A) P(B).Следствие: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:.

Соб. ,…, наз-ся независимыми в совок-ти, если для любых соб-й , ,…, , k n, вер-ть .Соб. ,…, наз-ся попарно независ-ми, если , i j= .

12. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства. Плотность распределения вероятностей случайной величины, являющейся функцией случайной величины.Если существует такая неотрицательная функция f(t), что функция распределения F(x) для каждого

х € (-∞, ∞) представима в виде

F(x) = ∫_-∞^x f(t)dt, то f(x) называется плотностью распределения случайной величины Х . Плотность распределения непрерывной случайной величины Х можно опре­делить так:

f(x) = F^/(x). Свойства плотности распределения:

1) ∫^+∞_-∞f(x)dx=l;

2) P(a≤X<b)= ∫ ^b_a f(x)dx.

Пример 1. Стрелок трижды стреляет в мишень. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,1. Построить закон и функцию распределения случай­ной величины Х - числа промахов при 3 выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию Х

2. Случайные события. Операции над событиями, их свойства. Случайным в теории вероятностей называют событие, которое при данном испытании, в данном опыте может либо произойти, либо не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления.Вероятность случайного события , обозначаемая – числовая мера степени возможности появления данного события при определенных условиях. При этом всегда .Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдет. Его вероятность равна единице. Событие называется невозможным, если в результате опыта оно не может произойти; его вероятность равна нулю. Суммой нескольких событий называется событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. Несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться одновременно . ( ) – Сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или _{или оба события одновременно.} Пересечением или произведением событий А и В наз- событие состоящее в том ,что произошли оба события А и В одновременно т.е. А,В ,есть множество содержащее элементарные исходы входящие в А и в В одновременно . (множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих _В) – разность событий

_{1) 2)}

_{3) 4)}

_{5) 6) 7)}

_{8) 9)}

_{10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)}

₁₇₎

₁₈₎

_{19) 20)}

_{21) А(В-С)=(АВ)-(АС)}

3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятностей. Формула сложения вероятностей. Несовместные события. Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания: ,где – число благоприятствующих событию исходов; – общее число возможных исходов. Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы. Простейшие свойства вероятностей: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;5) .Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .Два события называются несовместными (несовместимыми), если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.Теорема: Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

23. Геометрическое распределение и его числовые характеристики. Закон распределения дискретной случайной величины называют геометрическим, поскольку – формула расчета -го члена геометрической прогрессии, с первым членом и знаменателем ( ). Несложно убедиться в том, что выполняется условие нормировки:

Случайная величина называется распределенной по закону геометрической прогрессии с параметром , если может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле: , где .

4. Геометрическое определение вероятности. Примеры задач на геометрическую вероятность. Геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Расс-м какую-либо обл-ть .Предп-м,что мера конечна.пусть случ. эксперимент сос-т в том,что мы наудачу бросаем в эту об-ть точку.Термин «наудачу» здесь озн-т,что вер-ть попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от меры области A. Тогда вероятность того,что точка попадёт в А: где - мера обл. A.

Пример1. Точка бросается наудачу на отрезок [0;1].Вероятность точки попвсть в 0.5 равна 0,т.к.мера мн-ва,сост-го из 1 точки(в данном случае длина есть 0).Вместе с тем попадание в т. 0.5 не явл. невозможным событием,т.к это один из элементарных исходов эксперимента. Пример2.На отрезок АВ длины 1 см. наудачу бросается точка.Н-ти вер-ть того,что эта точка будет ближе к концам отрезка, чем его середине.

Пример.Парадокс Бертрана.

В круге 1-го радиуса наудачу выбир-ся хорда.Какова вероятность того, что её длина будет больше,чем длина стороны,вписанного в круг правильного треугольника.

Парадокс заключается в некорректной формулировке условия задач с математ. точки зрения. «Выбор наудачу хорды круга» может быть описан с пом. геометрич. опред-я вероятности, т.е. этот «эксперимент» можно по-разному описать с пом. выбора наудачу точки в некот. обл.Здесь слово «эксперимент» взято в кавычки не напрасно:Сказав: «В круге наудачу выбирается хорда» мы ещё не описали физич. эксп-та.Парадокс исчезает сразу, как только получим ответ на вопрос: «Что то значит:в круге выбирается хорда?»

5. Условные вероятности, их свойства. Формула сложения условных вероятностей, формула умножения вероятностей. Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло другое событие с вер-тью Р(В)≠0, называется условной вероятностью события и обозначается Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В) Вероятность появления события при этих новых условиях называется его условной вероятностью в отличие от вероятности , которая может быть названа безусловной вероятностью события .В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что имели место два других события и , спользуется условная вероятность относительно произведения событий В и С: .Св-ва услов. вер-тей: 1.Р(Ω∕В)=1 2.Р(∅/В)=0 3.А⊂С⟹Р(А/В)≤Р(С/В) 4.Р(А ̅/В)=1-Р(А/В) 5.0≤Р(А/В)≤1 6.Формула умножения вероятностей:Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место: , Р(А)≠0, Р(В)≠0Общ. ф-ла умнож-я вер-тей: Формула сложения услов. вер-тей: Р(А+С/В)=Р(А/В)+Р(С/В)-Р(АС/В)

9. Схема Бернулли последовательных испытаний. Формула Бернулли и ее следствие. Наивероятнейшее число наступлений события.

Схема Бернулли заключ. в след.: проводится n последовательных испытаний, которые: независимы; в любом испытании возможны только 2 исхода (A и ); вероятности этих исходов постоянны и не изменяются от испытания к испытанию.

Под независимыми понимаются такие эксперименты, в которых любые события, возникающие в разных экспериментах, являются независимыми в совокупности.

p = P(A) q = P( ) = 1 – p

Наступление события A обычно называют успехом, а ненаступление – неудачей.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что в схеме Бернулли из n испытаний успех наступит ровно m раз равна

(m) =

Следствие: Пусть m₁ и m₂ Z, n. Тогда вероятность того, что в схеме Бернулли успех наступит не менее m₁ и не более m₂ раз в n испытаниях равна

Определение: Число наступлений события A (успеха) называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события A любое другое количество раз.

Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в независимых испытаниях схемы Бернулли заключено между числами и . При этом, если , то наивероятнейших чисел два, а именно и .

16. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и моменты непрерывной случайной величины. Мода и медиана непрерывной случайной величины. Неравенство Коши-Буняковского. Дисперсией непрерывной СВ наз-ся значение интеграла:

.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной СВ - корень квадратный из дисперсии:

.

Мода ( ) непрерывной СВ – значение, кот соответствует максимальное знач ее плотности вероятности.

Медианой ( ) непрерывной СВ - значение, кот опр равенством:

.

Нерав-во Коши-Буняковского: для любых СВX и Y

M(|X Y|)≤(M(X²))^1/2 (M(Y²))^1/2

8.Формула полной вероятности и формула Байеса.

Формула полной вероятности:

Пусть H1…Hn – полная группа событий и P(Hi)>0, i=1,n⁻⁻, тогда для любого события А

Р(А)= )

Формула Байеса:

Пусть дана полная группа событий H1,…,Нn и некоторое событие А, тогда для любых К от 1 до n условная вероятность события Нк при условии, что произошло событие А вычислится по формуле

Р(Нк/A)=

11. Понятие случайной величины(СВ) и ее закона распределения. Функция распределения случайной величины и ее свойства. График функции распределения случайной величины.. Случайной величиной наз-ся переменная величина, к-рая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой ( ), ее конкретные значения – строчными буквами ( ).СВ делятся на дискретные и непрерывные, выделяют также смешанные 1) Величина наз-ся дискретной, если она м. принимать определенные, фиксированные значения. 2) СВ вназывается непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.Законом распределения СВ называется совокупность пар чисел ( ), где – возможные значения случайной величины, а – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .закон. Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения. Функция

F(x) = Р(Х < х), х € (-∞, ∞) называется функцией распределения слу­чайной величины Х Для дискретной случайной величины Х функция распреде­ления имеет вид F(x)=∑p_i

i:x,<x

Свойства функции распределения:

1) если х₁ < х₂ , то F(х₁)≤F(x₂), то есть F(x) - неубывающая функция;

2) F(-∞)=О, F(∞) =1; 3) функция F(x) непрерывна слева, то есть lim F(x) = F(y). ^x→y-0

Кроме того, для любых а < Ь верно равенство Р(а ≤Х < Ь) = F(b) - F(a).

y

1

1 2 x

18. Ковариацией случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: р_ху = М{\Х-М<Х)][У-М(У)]}.

Для вычисления ковариации дискрет­ных вел-н испол-т формулу mxy=E*E [х₁-М(Х)][у_/-М(У)]р(х,_Уi),

а для непрерывных величин—формулу mxy=SS[х—М(ХШу-М(У)]f(х, у)dxdy.

Ковариация равна нулю, если X и У независимы; следовательно, если ковариация не равна нулю, то X и У — зависимые случайные вели­чины. Ковариация служит для характеристики связи между величинами X и У.

Две случайные величины X и У называют корелированными, если их ковариация отлична от нуля; Х и У называют некоррелированными величинами, если ковариация равна нулю.

Дисперсию СВ У - функции случайной величины Х(У=(р(Х)), имеющей дифференциальную функцию f(х), можно определить по формулам:

М(У) = М(ф(х)) = Sф(х)f(х)dх

D(У) = В(ф(х)) = Sф²{х)/(х)dх-М²{У).

10. Предельные теоремы для схемы Бернулли (Теорема Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа). Функции Гаусса и Лапласа.

В случае, когда число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. Для больших существуют приближенные формулы. Точность этих формул увеличивается с возрастанием .

Теорема Пуассона:Предположим, что произведение np = является постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает, тогда для любого фиксированного m и постоянного

На практике эта теорема применяется следующим образом. Если n велико, а p мало, , то

Теорема Пуассона с оценкой погрешности: Пусть произвольное множество целых неотрицательных чисел от 0 до n, – число успехов n испытаний схемы Бернулли, тогда

Замечание: Если мало значение q₁ то по Пуассоновским приближениям можно воспользоваться для числа неудач.

Если же n достаточно велико, а p не слишком близко к нулю или единице, то имеет место теорема: Локальная теорема Муавра-Лапласа: , где ,

а Функция называется ф-ей Гауса. Эта функция затабулирована – ф-ия Гауса чётная. При достаточно больших n вероятность того, что событие A в схеме Бернулли наступило не менее m₁ и не более m₂ раз в n испытаниях, при условии, что p не слишком близко к 0 или 1, вычисляется с помощью след. теоремы: Интегральная теорема Муавра-Лапласа: где , Ф-ия (x) называется ф-ией Лапласа, она также затабулирована, она нечётная, т.е. Ф(-x) = Ф(x)