2.7 Линейное (векторное) пространство

2.7.1 Определение линейного пространства

Пусть ā , , - элементы некоторого множества ā , , L и λ , μ - действительные числа, λ , μ R..

Множество L называется линейным или векторным пространством, если определены две операции:

1⁰. Сложение. Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие элемент того же множества, называемый их суммой

ā + =

2°. Умножение на число. Любому действительному числу λ и элементу ā L ставится в соответствие элемент того же множества λ ā L и выполняются следующие свойства:

1. ā+ = + ā;

2. ā+( + )=( ā+ )+ ;

3. существует нулевой элемент , такой, что ā+ =ā;

4. существует противоположный элемент - такой, что ā+(-ā)= .

Если λ , μ - действительные числа, то:

5. λ(μ, ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā + )= λ ā+λ ;

8. (λ+μ) ā=λ ā +μā

Элементы линейного пространства ā, , ... называют векторами.

Упражнение. Покажите самостоятельно, что данные множества образуют линейные пространства:

1) Множество геометрических векторов на плоскости;

2) Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве;

3) Множество многочленов некоторой степени;

4) Множество матриц одинаковой размерности.

2.7.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства

Линейной комбинацией векторов ā ₁ , ā ₂, …, ā_n L называется вектор того же пространства вида:

,

где λ _i - действительные числа.

Векторы ā ₁, .. , ā_n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация будет нулевым вектором в том и только в том случае, когда все λ_i равны нулю, то есть

λ _i =0

Если же линейная комбинация будет нулевым вектором и хотя бы один из λ_i отличен от нуля, то эти векторы называются линейно-зависимыми. Последнее означает, что хотя бы один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Действительно, пусть и, например, . тогда, , где .

Максимально линейно-независимая упорядоченная система векторов называется базисом пространства L. Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Допустим, что существует n линейно-независимых векторов, тогда пространство называют n -мерным. Другие векторы пространства могут быть представлены как линейная комбинация n векторов базиса. За базис n-мерного пространства можно взять любые n линейно-независимых векторов этого пространства.

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств:

а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой)

б) множество векторов, принадлежащих плоскости

в) множество векторов трёхмерного пространства

г) множество многочленов степени не выше второй.

Решение.

а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные , то , λ - скаляр. Следовательно, базисом данного пространства является только один (любой) вектор, отличный от нулевого.

Обычно это пространство обозначают R, размерность его равна 1.

б) любые два неколлинеарные векторы будут линейно-независимы, а любые три вектора на плоскости - линейно-зависимы. Для любого вектора , существуют числа  и  такие, что . Пространство называют двумерным, обозначают R².

Базис двумерного пространства образуют любые два неколлинеарных вектора.

в) Любые три некомпланарные векторы будут линейно независимые, они образуют базис трехмерного пространства R³.

г) В качестве базиса пространства многочленов степени не выше второй можно выбрать такие три вектора: ē₁=x²; ē₂=x; ē₃=1.

(1 - это многочлен, тождественно равный единице). Данное пространство будет трехмерным.