2 Курс лекций
2.1 Матрицы
2.1.1 Общие сведения о матрицах
Матрицей
А размерности
т
п
называется
прямоугольная таблица чисел:
,
где т - число строк матрицы, п - число столбцов матрицы. Матрицу можно записывать в виде:
или
где aij - элементы матрицы;
первый
индекс i
указывает номер строки,
;
второй
индекс j
-
номер столбца,
.
Например,
-
матрица размерности 2х3;
- матрица-столбец;
-
матрица-строка.
Матрица называется квадратной, если т = п, число п называют ее порядком.
-
квадратная матрица третьего порядка.
Элементы aij составляют главную диагональ матрицы, а элементы a1n , a2n-1 ,… , an1 - вспомогательную, побочную диагональ матрицы.
Если
все aij
= 0 (i
j),
за
исключением
элементов, стоящих на главной диагонали
аii,
то матрицу называют диагональной,
например:
Диагональная матрица называется единичной, если все aii = 1 , обозначают:
.
Если все aij = 0, то матрица называется нулевой, обозначают 0.
Нулевая и единичная матрицы выполняют в матричном исчислении такую же роль, как 0 и 1 в теории действительных чисел.
Две матрицы А и В называются равными, если они одной и той же размерности и их соответствующие элементы равны между собой.
А=В,
если aij=
bij
.
2.1.2 Операции над матрицами
1) Суммой матриц А+В называют такую матрицу С, для которой cij=aij+bij.
Складывать можно матрицы одинаковой размерности. Операции сложения матриц обладают такими же свойствами, что и операции сложения действительных чисел:
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)
А+0=А
2) Произведением матрицы а на действительное число
называют
такую матрицу
С =
А,
для
которой cij=
аij.
Из данного определения вытекают следующие свойства:
α βA= α(βA)
α (A+B)= α A+ α B
(α +β)A= α A + β B
где α, β - действительные числа;
А, В - матрицы.
Разность матриц А - В можно ввести как сумму А +(-1)В.
3)
Произведением
матрицы
на матрицу
называется
матрица
элементы которой
;
,
то есть элемент матрицы С, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
В общем случае: АВ ВА.
Матрицы называются коммутативными, если АВ=ВА
Имеют место следующие свойства произведения матриц (проверьте самостоятельно):
(АВ)С=А(ВС),
(А+В)С=АС+ВС,
α АВ = (α А)В = А(α В),
АЕ = ЕА = А, где Е - единичная матрица,
А 0 = 0, где 0 - нулевая матрица.
Если у матрицы А строки заменить соответствующими столбцами, то получим так называемую транспонированную матрицу, которую обозначают AT.
Имеют место следующие свойства для AT (проверьте самостоятельно):
(AT)T=A
(A+B)T= AT+BT
(α A)T= α AT
(AB)T=BT AT
Пример 1. Найти: С = 2А - 3(В - А),
где
;
Решение.
С=2А-3(В-А)=2А-ЗВ+ЗА=5А-ЗВ.
Пример 2. Найти АВ,
где
;
.
Решение.
Упражнение. Найти А(В+2А), если
; 
2.2 Определители
Под определителем (детерминантом) понимают число, соответствующее квадратной матрице любого порядка и вычисленное по определенным правилам.
Обозначают определитель матрицы А:
Δ; Δ(А); |A|; det A.
Определителем первого порядка называют число, соответствующее матрице 1-го порядка и равное
Δ=|a|=a
Определителем второго порядка называют число, соответствующее матрице второго порядка и равное
Пример 3. Вычислить:
a)
;
б)
Решение.
а)
б)
Рассмотрим матрицу третьего порядка:
Минором Мij элемента аij матрицы А называется определитель, соответствующий матрице, полученной после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца в матрице А.
Например,
; 
.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij , матрицы А называется минор этого элемента, вычисленный по формуле
Аij=(-1)i+jMij
Например,
; 
.
Пример 4. Найти алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы
Решение.
Определителем третьего порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения
или
Пример
5.
Вычислить: 
.
Решение.
Определителем п-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:
Упражнение.
Вычислить 