2.5 Системы линейных алгебраических уравнений

2.5.1 Основные понятия

Система вида:

называется неоднородной системой т линейных уравнений с п неизвестными.

Здесь х₁ ,..., х_п - неизвестные величины,

А_ij - коэффициенты системы,

b_j, - свободные члены

Совокупность п чисел которые обращают каждое уравнение системы в тождество, называется решением системы.

Если существует хотя бы одно решение, то система называется совместной, в противном случае - несовместной.

Совместная система называется определенной, если решение единственно, в противном случае - неопределенной.

Если все свободные члены b_i = 0 , то система называется однородной.

Однородная система всегда совместна, так как она имеет решение х_j = 0 , это решение называют тривиальным.

Запишем систему в матричной форме:

АХ=В,

где матрица , составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей системы:

- матрица неизвестных, - матрица свободных членов

Если к матрице системы А присоединить столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы, обозначим её

.

2.5.2 Методы решение систем

Ответ на вопрос о совместности неоднородной системы дает теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть:

rang A = rang .

Рассмотрим систему, у которой число уравнений равно числу неизвестных, т=п.

АХ=В,

где А=(а_ij) - квадратная матрица порядка n. При решении такой системы возможны два случая:

1. Матрица А - не вырождена, ее определитель .

В этом случае существует обратная матрица А^-1. Уравнение АХ=В умножим слева на А^-1, получим:

А^-1AX= А^-1B,

так как А^-1А = Е, то решение системы найдено

X= А^-1•B.

Итак, система имеет единственное решение, которое находится с помощью обратной матрицы по формуле:

Отсюда легко получаются известные формулы Крамера:

или

,

где - определитель матрицы А, у которой i-ый столбец заменен столбцом свободных членов.

Пример 13. Решить систему с помощью обратной матрицы:

.

Решение

Установим, будет ли основная матрица системы невырожденной, для этого найдем ее определитель:

, следовательно А -не вырождена.

Решение Х ищем по формуле Х = А^-1В.

Найдем обратную матрицу .

Вычислим все алгебраические дополнения:

; А₂₁=1; А₃₁=8;

; А₂₂=2; А₃₂=-5;

А₂₃=5; А₃₃=-2.

тогда:

Найдем неизвестные системы:

итак, .

Пример 14. Решить систему, используя формулы Крамера:

.

Решение

Найдем определитель основной матрицы системы:

, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем его по формулам Крамера:

где

итак, ;

2. Матрица А - вырождена, то есть А = detA = 0.

Тогда ее ранг r(А) = r < п.

Условие совместности тоже выполнено, так как ранг расширенной матрицы равен r:

Как найти и записать решения системы в этом случае?

Пусть базисный минор матрицы А, порядок которого равен r,находится в левом верхнем углу. В этом случае п-r уравнений, коэффициенты которых не входят в базисный минор, будут линейными комбинациями первых уравнений и могут быть отброшены.

Тогда система имеет следующий вид:

Перепишем систему, оставив слева только r слагаемых в каждом уравнении:

x₁ , x₂, …, x_r называют базисными переменными,

x_r+1 , …, x_n называют свободными переменными.

Если выразить базисные переменные в общем виде через свободные, то получим общее решение системы. Если в этом общем решении придавать свободным переменным конкретные числовые значения, то получим частное решение системы.

Таким образом, в этом случае, когда r(А) = r( ) < п, система имеет бесчисленное множество решений (пример 16).