2.14 Прямая в пространстве

2.14.1 Различные виды уравнений прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей:

Пусть даны вектор (т ,п , р)и точка М₀(х₀ , у₀ ,z₀). Напишем уравнение прямой l, проходящей через точку М₀ параллельно вектору .

Возьмем на прямой l произвольную (текущую) точку М(х, у, z). Вектор коллинеарен вектору (m, n,p), следовательно:

так как , то или

Итак, уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве.

Вектор (m, n, р) называется направляющим вектором прямой в пространстве.

Запишем последнее уравнение в координатной форме; так как r (х, у, z); r_o = (х₀, у₀, z₀), то

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Если исключить параметр t в последних уравнениях, то получим каноническое уравнение прямой.

Пример 25. Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей р₁: 2x-y+z+3=0 и Р₂: 3x+y-z+2=0

Решение

Проверим, что заданные плоскости не параллельны, то есть их нормальные векторы неколлинеарны.

Действительно, (2, -1, 1) и (3, 1, -1) - неколлинеарные векторы (их координаты не пропорциональны)

Прямая l, как линия пересечения р₁ и Р2 будет перпендикулярна и , поэтому направляющий вектор прямой l равен:

Итак, (0,5,5) Из общего уравнения прямой

найдем любую точку, принадлежащую данной прямой Пусть z = 0, тогда, решая систему

находим х=-1; y= 1 Итак, точка М(-1, 1, 0) принадлежит прямой l. Каноническое уравнение прямой имеет вид

параметрические уравнения заданной прямой имеют вид

2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве

Углом между двумя прямыми l₁ и l₂ называют любой из двух смежных углов, образованных прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным.

Один из двух смежных углов между прямыми l₁ и 1₂ равен углу между направляющими векторами и , тогда

или

В частности, если то тогда m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0, если то тогда:

2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве

Рассмотрим две прямые l₁ и l₂ , возможны три различных случая расположения этих прямых

1) прямые пересекаются, следовательно, они лежат в одной плоскости Уравнения прямых

Векторы и , - компланарны, тогда их смешанное произведение · , где =(x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁)и расстояние между прямыми d=0.

2) Прямые параллельны, тогда

Расстояние между прямыми d можно найти, используя определение векторного произведения.

Модуль векторного произведения - это площадь параллелограмма, тогда высота d параллелограмма равна

3) Прямые скрещивающиеся, они не лежат в одной плоскости, тогда искомое расстояние d определяется длиной общего перпендикуляра к этим прямым, то есть это расстояние между параллельными плоскостями, проходящими через прямые l₁ и l₂.

Очевидно, что нормальный вектор к плоскостям есть . Тогда скалярное произведение:

где в числителе стоит модуль смешанного произведения, или объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , в знаменателе - модуль векторного произведения, то есть площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Расстояние d совпадает с высотой данного параллелепипеда.