20.Точки разрыва функции.

Определение 5. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняются следующие три условия:

1. функция f(x) определена в точке x₀, т.е. x₀ ∈ D(f)

2. существует

3. =f(x₀)

Если в точке x₀ нарушено хотя бы одно из условий 1)-3), то функция называется разрывной в точке x₀, а точка x₀ - точкой разрыва. Различают следующие случаи: I) если условие 2) определения 5 выполнено и при этом x₀ D(f) или f(x₀) II) если условие 2) определения 5 нарушено, т.е. не существует но при этом существуют два конечных односторонних предела f(x) = f(x₀ -0), f(x) = f(x₀+0), не равные друг другу, то точка x₀ называется точкой разрыва первого рода, а разность f(x₀ + 0) − f(x₀ − 0) – скачком функции f(x) в точке x₀;

III) если хотя бы один из односторонних пределов равен + или − или вообще не существует, то точка x₀ называется точкой разрыва второго рода. Таким образом, при исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение условий определения 5. Если точка разрыва, то для установления характера разрыва необходимо вычислить односторонние пределы.

21. Арифметические опер. Над непрерывными ф-циями

Теорема 2. Пусть f : X → R – функция непрерывная в точке x₀ ∈ X. Тогда справедливы следующие утверждения: а) функция f ограничена в некоторой окрестности точки x₀; б) если f(x₀) 0, то в некоторой окрестности точки x₀ все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(x₀); в) если функция g : X → R также непрерывна в точке x₀, то функции f(x) ± g(x), f(x) · g(x), , (при условии,что g(x₀) 0)непрерывны в точке x₀. Теорема 3. Пусть f : X → Y , f(X) = Y , g : Y → R, f(x) - непрерывна в точке x₀ ∈ X, g(y) - непрерывна в точке y₀ ∈ Y , y₀ = f(x₀). Тогда функция g ◦ f т.е. (x) = g(f(x))непрерывна в точке x₀.

Доказательство теорем следует из соответствующих свойств предела функции в точке и определения непрерывности функции.

23.Огранниченность ф-ции непрер. На отрезке.

О пределение 1. Функция f(x) непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом множестве. Если X = [a; b], то для непрерывности функции на X требуется, чтобы f(x) была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т.е. в точке a, и непрерывна слева на правом его конце, т.е. в точке b. Теорема 4 (Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своих верхней и нижней граней. Доказательство. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и пусть M = M как и всякая верхняя

грань непустого множества чисел, может быть либо конечной, либо бесконечной, равной + . Покажем, что M < + и что существует такая точка x0 ∈ [a; b], что f(x0) = M. Выберем какую-либо последовательность таких чисел a_n, n = 1, 2, . . ., что a_n = M, an < M, n = 1, 2, . . (1) Согласно определению верней грани функции для каждого a_n, n = 1, 2, . . . существует такая точка x_n ∈ [a; b], что f(x_n) > a_n, n = 1, 2, . . . (2). С другой стороны, поскольку M верхняя грань функции f(x), для всех точек x ∈ [a; b] справедливо неравенство f(x) M.(3) Последовательность {x_n} ограничена, так как a x_n b, n = 1, 2, . . ., поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {x_nk}, и пусть x_nk=x₀. Так как a x_nk b, то a x₀ b. Из неравенств (2) и (3) следует, что a_nk < f(x_nk ) M, k = 1, 2, . . . (4). С другой стороны, в силу непрерывности функции f(x) на отрезке [a; b] она непрерывна в точке x₀ этого отрезка и,

следовательно f(x_nk)=f(x₀). т.е. имеем M = f(x₀).

Таким образом, доказано, что верхняя грань M функции f(x) совпадает со значением функции в точке x₀ и, следовательно, конечна. Тем самым функция f(x) ограничена сверху и ее верхняя грань достигается в точке x0 ∈ [a; b].

Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нем своей нижней грани.