3.Лемма о верхней грани числового множества.

Лемма 1. Всякое ограниченное сверху непустое подмножество действительных чисел X имеет единственную точную верхнюю грань. . Единственность верхней грани для множества X обеспечивается аксиомой III2. Докажем существование верхней грани для множества X. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый элемент y ∈ Y ограничивает сверху множество X, следовательно, для любого элемента x ∈ X выполняется неравенство x≤y

Элементы x и y являются произвольными элементами соответственно множеств X и Y , поэтому, в силу свойства непрерывности множества действительных чисел, существует такое число β, что для любых x ∈ X и y ∈ Y имеет место неравенство Выполнение неравенства x<= β для всех x ∈ X означает, что число β ограничивает сверху множество X,а выполнение неравенства β<=y для всех y ∈ Y , т.е. всех чисел, ограничивающих сверху множество X, означает, что число β является наименьшим среди всех таких, т.е. верхней гранью множества X

4.Лемма о вложенных отрезках.

Лемма 2. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы. Доказательство. Пусть задана система вложенных отрезков

Обозначим через A множество всех левых концов a_n - отрезков этой системы, а через B - множество их правых концов b_n. Для любых номеров m и n выполняется неравенство (1)

Поэтому из неравенства (1), в силу свойства непрерывности множества действительных чисел, следует, что существует такое число ξ, для которого при всех номерах m и n выполняется неравенство а, в частности, и неравенство Последнее и означает, что число ξ принадлежит всем отрезкам [a_n, b_n].

5. Лемма о предельной точке числового множества.

Лемма 5. Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть X-данное подмножество R. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке [a, b] = I ⊂ R. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка I является предельной для X.

Если бы это было не так, то каждая точка x ∈ I имела бы окрестность V (x), в которой либо вообще нет точек множества X, либо их там конечное число. Совокупность {V (x)} таких окрестностей, построенных для каждой точки x ∈ I, образует покрытие отрезка I интервалами V (x), из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему V (x₁), . . . , V (x_n) интервалов, покрывающую отрезок I. Но поскольку X ⊂ I, то эта же система покрывает все множество X. Однако в каждом интервале V (x_i) только конечное число точек множества X, значит, и в их объединении тоже конечное число точек X, т.е. X-конечное множество. Полученное противоречие завершает доказательство.