38. Теорема Лагранжа

Теорема 8. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a; b), такая, что f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a). Доказательство. Составим вспомогательную функцию (x) = (b − a)f(x) –(f(b) −f(a))x. Покажем, что функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно: 1) (x) непрерывна на [a; b], так как является суммой непрерывных на [a; b] функций; 2) (x) дифференцируема на (a; b), так как является суммой дифференцируемых на (a; b) функций; 3) (a) = (b) = bf(a) − af(b). Итак, (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, причем ‘(x) = (b − a)f ‘(x) – (f(b) − f(a) ). По теореме Ролля существует точка ξ ∈ (a; b), такая, что ‘(ξ) = 0, т.е. (b − a)f’(ξ) –(f(b) − f(a))= 0 ⇔ f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a).

39.Теорема Коши. Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Теорема 9. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям: 1) непрерывны на отрезке [a; b]; 2) дифференцируемы в интервале (a; b), причем g‘(x) 0, ∀x ∈ (a; b). Тогда существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a; b) такая, что

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

Заметим, что g(b) g(a). Действительно, если бы g(b) = g(a), то для функции g(x) на отрезке [a; b] были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка [a; b] нашлась бы по крайней мере одна точка ξ, для которой g’(ξ) = 0, что противоречит условию теоремы. Следовательно g(b) g(a).

Покажем, что вспомогательная функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. действительно: 1) (x) непрерывна на [a; b] как сумма непрерывных на [a; b] функций; 2) (x) дифференцируема на интервале (a; b) как сумма дифференцируемых на (a; b) функций; 3) (a) = 0, (b) = 0 поэтому и (a) = (b). Найдем

По теореме Ролля существует точка ξ ∈ (a; b) такая, что (ξ) = 0, поэтому =0

40.Формула Тейлора. Остаточный член ф форме Пеано

Имеем, что дифференцируемую функцию f(x) в окрестности точки x₀ можно представить в виде f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀), x → x₀,т.е. существует многочлен первой степени P₁(x) = f(x₀) + A · (x − x₀), такой, что при x → x0 имеет место равенство f(x) = P₁(x) + o(x − x₀), причем многочлен P₁(x) удовлетворяет условиям P₁(x0) = f(x₀), P’₁(x₀) = f’(x₀). Поставим более общую задачу. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в этой точке n производных f’(x₀), f’’(x₀), . . . , f⁽ⁿ⁾(x₀). Найдем многочлен P_n(x) степени не выше n, такой, что f(x) = P_n(x) + o((x − x₀)ⁿ), x → x0, (1), Будем искать многочлен P_n(x) в виде P_n(x) = A₀ + A₁(x − x₀) + A₂(x − x₀)²+ . . . + A_n(x − x₀)ⁿ Отсюда, дифференцируя, последовательно находим: P’_n(x) = A₁ + 2A₂(x − x₀) + 3A₃(x − x₀)²+ . . . + nA_n(x − x₀)ⁿ⁻¹. P’’_n(x) = 2 · 1 · A₂ + 3 · 2 · A₃(x − x₀) + 4 · 3 · A₄(x − x₀)²+ . . . + n(n − 1)A_n(x − x₀)ⁿ⁻², P⁽ⁿ⁾_n (x) = n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1 · A_n. Tеперь получаем : f(x₀) = P_n(x⁰) = A₀ ⇒ A₀ = f(x₀); f’(x₀) = P’_n(x₀) = A₁ ⇒ A₁ = f’(x₀);

Теорема 12. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и n раз дифференцируема в ней. Тогда при x → x₀ имеет место формула f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) + (x − x₀)²+ . . . + (x − x₀)ⁿ + o((x − x₀)ⁿ) , эта называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано, где R_n(x) =

= f(x) − P_n(x) = o((x − x0)ⁿ), x → x0 – остаточный член.