- •2.1.Умножение матриц. Свойстваумножения.
- •12.1.Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
- •13.1. Базис и координаты вектора.
- •14.1. Прямоугольн система координат. Линейн операц над векторами в лин форме.
- •4.1. Миноры, алгебраические дополнения. Теорем о разложении определителя по элементам ряда Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа
- •3.1 Определители 2-го и 3-го порядков. Понятие определителя n-го порядка.
- •5.1 Свойства Определителей
- •16.1. Векторное произведение векторов.
- •17.1. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •1.1.Матрицы (основные понятия). Линейные операции над матрицами, их свойства
- •6.1.Обратная матрица. Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы
- •10.1 Теорема Конекера─Капелли. Решение произвольных систем.
- •8.1.Невырожденные системы.Фор-ы Краме. Метод Гаусса.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •9.1 Ранг матрицы. Теорема об инвариантности ранга матрицы.
- •7.1Системы линейных уравнений. Основные определения. Матричная запись
- •1.2. Урав плоскости, проходящей через данную точку перпендик-рно даному вектору. Общ урав плоскости. Урав плоскости в отрезках.
- •4.2. Взаимное расположение плоскостей.
- •5.1. Канонические и параметрические уравн прямой. Урав прямой, проходящ через две точки.
- •6.2 Сведение общего урав. Прямой в пространсве к каноническим уравнениям.
- •11.2. Взаимн распол-ние прямй и плоскоси. Угол между прямой и плоскостью
- •3.2 Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Теорема о единственности предела
- •11. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых. Определение
- •6.3.Бесконечно малые величины и их св-ва
- •1.3 Числовая последовательность и ее предел.
- •8. 3. 1Й, замечательный предел.
- •9.3 Второй замечательный предел
- •1 2.3. Непрерывность функции в точке. Действия над непрерыв функциями
- •13. Классификация точек разрыва.
- •5.3 Свойства бесконечно малых функций:
- •4.4 Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Связь между ними
- •2. Теорема об ограниченности сходящеся последовательности. Теоре Вейерштрасса.
- •14.3. Односторонняя непрерывность. Свойства непрерывных на отрезке функций
- •15. Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя.
- •19. Выпуклость, вогнутость графика функции; достаточные условия.
- •23. Наименьшее и наибольшее значения непрерывной на отрезке функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •11.4 Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •12.4 Дифференциалы высших порядков. Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •1.4 Производная. Геометрический и механический смысл.
- •3.4. Основные правила дифференцирования.
- •8.4 Логарифмическое дифференцирование.
- •10.4. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.
- •13.4.Теорема Ролля. Лагранжа. Коши
- •6.4.Производная ф-и задана неявно
- •16.4. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).
- •21.4. Асимптоты.
- •22.4. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.
- •2.4 Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.
- •9.4Производная высших порядков.
- •14.4.Раскрытие неопределенностей вида 0/0 (правило Лопиталя).
- •15.4 Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Лопиталя.
- •17.4 Теорема: Достаточный признак возрастания функции.
- •18.4 Достаточные условия существования экстремума.
- •19.4 Выпуклость графика функции.
- •7.4 Производная ф-и задана и параметрически
- •6.4.Производная ф-и задана неявно
- •14.2. Парабола и ее свойства.
- •12.2.Эллипс и его св-ва:
- •13.2. Гипербола и ее св-ва.
- •15. Скалярное произведение векторов и его свойства.
4.1. Миноры, алгебраические дополнения. Теорем о разложении определителя по элементам ряда Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа
Минором Мij квадратной матрицы n-го порядка для элемента аij называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
Алгебраическое дополнение элемента определителя определитель
где - минор
элемента .
Теорема Лапласа. В данной квадратной матрице А(n x n ) вычеркнем k строк (1kn). Тогда равно сумме произведений всевозможных миновров к-того порядка из данных строк на их алгебраические дополнения: . То же для столбцов. Теорема удобна для матриц с большим кол-вом нулей.
3.1 Определители 2-го и 3-го порядков. Понятие определителя n-го порядка.
Квадр матрицей A порядка n можно сопоставить число detA(∆A,|A|) называемое определителем и определяемое: n=2 a11*a22-a12*a21; n=3 a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31-a31a22a13-a32a23a11-a21a12a33. Теорема: опред 3-его порядка = сумме произв элементов любой его строки (столбца) на их алг допол. Теорема: сумма произ элементов строки(столбца) определителя на алг допол соотв элементов др. строки(столбца)=0.
С помощью опред 4-ого порядка можно посчитать опред n-ого порядка. Для опред любых порядков остаются в силе определение минора и алг доп некоторого элемента, а также 2-теоремы об алг доп. Обозначим Mik –минор для элемента Аik и для определителя n-ого порядка: Aik=(-1)i+kMik. Пусть D-опред n-ого порядка. Раскрывая его сначала по элементам i-той строки, а затем по – k-ого столбца в силу теоремы1 получим D=ai1Ai1+…ainAin. D=a1kA1k+…ankAnk. C другой стороны, если i не=j и kне=l, то D=ai1A1i+…+ajnAni=0; D=a1kA1l+…ankAnl=0. Теорема: сумма все произведений элементов любой строки определителя на соотв алг доп равна этому определителю. Замечание: определитель треуг матрицы А равен произ элементов, стоящих на диагонали. Теорема: опред произ 2х матриц одинакового порядка=произв опред n-ого порядка. Теорема: опред матрицы порядка n равен сумме произ всевозможн миноров k-ого порядка (k<n), которые можно получить из произв выбранных k-направелнных рядов и алг. доп этих миноров.
5.1 Свойства Определителей
Св-ва: 1)Определитель не измениться, если его строки заменить столбцами и наоборот; 2) При перестановке 2-х парал рядов опред меняет знак на противоположный; 3)Определитель, имеющ два одинаковых ряда=0; 4)Общий множитель элементов какого-то ряда опред, можно вынести за знак опред; 5)если все элем ряда пропорц соотв элем парал ряда, то такой опред=0; 6)если все элем строки(столбца) определителя=0, то опред=0; 7) если элем определителя представ собой суммы двух слогаемых, то опред может быть разложен на сумму двух соотв определителей; 8)Определитель не изменится, если к элем одного ряда прибавить соотв элементы парал ряда, умноженного на число; 9)для разлож опред обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т.к. соотв им слаг будут=0; 10)сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алг. дополнение параллельного ряда соотв элементов равно 0;