Теорема 3
Наборов длины n
из 0 и 1
существует
.
Доказательство
Обозначим это количество буквой
и докажем ММИ, что
.
Пусть n=1.
Наборов длины 1
из 0 и 1
существует 2:
(0) и (1),
поэтому
.
Базис индукции заложен.
Индуктивное предположение. Допустим,
что
.
Индуктивный переход. Докажем, что
.
В самом деле, рассмотрим какой-нибудь
набор из 0
и 1 длины
k, скажем
.
Тогда из него можно получить ровно два
набора длины k+1,
а именно
и
.
Значит, наборов длины k+1
в два раза больше, чем наборов длины
k, то есть
.
Теорема доказана.
Существует общепринятый порядок выписывания наборов длины n из 0 и 1. Начинается этот список с нулевого набора – (0,0,..,0,0). Каждый следующий набор получается из предыдущего прибавлением 1 в двоичной арифметике. Заканчивается список единичным набором – (1,1,..,1,1). Тем, кто забыл или не знает двоичной арифметики, сообщаем необходимые и самые простые равенства: 0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=10.
Составим списки наборов из 0 и 1 длины 3 и длины 4:
1) 0 0 0 2) 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
Задача
Составьте список наборов длины пять.
Определение 4
Таблица истинности для высказывания имеет вид:
|
|
... |
|
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
... |
0 |
1 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
... |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
1 |
1 |
... |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
... |
1 |
1 |
|
По сути дела, пример таблицы истинности был приведен в §1. Здесь же мы лишь дали необходимые обозначения и теоретические обоснования. В дальнейшем нам неоднократно придется строить таблицы истинности.
§3. Равносильные высказывания. Основные логические тождества
Определение 1
Высказывания
и
называются равносильными (или просто
равными), если для любых наборов
имеет место равенство:
Обозначим
.
Другими словами, два высказывания равны, если у них совпадают таблицы истинности.
Примеры
1)
.
Доказательство
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2)
.
Доказательство
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3)
.
Доказательство
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Приведем список основных логических равенств, которые называются логическими тождествами. Для некоторых из них приведем доказательства. Остальные рекомендуется проверить самостоятельно.
Основные логические тождества:
1)
–
идемпотентность дизъюнкции;
2)
–
идемпотентность конъюнкции;
3)
–
коммутативность дизъюнкции;
4)
–
коммутативность конъюнкции;
5)
–
ассоциативность дизъюнкции;
6)
–
ассоциативность конъюнкции;
7)
–
дистрибутивность конъюнкции относительно
дизъюнкции;
8)
–
дистрибутивность дизъюнкции относительно
конъюнкции.