Сервер Методического Обеспечения вгуэс http://abc.Vvsu.Ru

Разработка, менеджмент и поддержка abc.vvsu.ru, Гмарь Александр, все вопросы по адресу: abc@vvsu.ru

Дата конвертации: 05 Октябрь 2000, 16:36 Все права защищены © ВГУЭС 2000. ВГУЭС, 690600, г.Владивосток, ул.Гоголя, 41, http://www.vvsu.ru (4232) 25-72-21, (4232) 42-91-58

Электронное издание.

Название: ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА (Конспект лекций)

Автор: Ю.Е. Шишмарев

Редактор: Л.И. Александрова

Аннотация: Пособие является первой частью дискретной математики, ко-торое включает в себя как классические разделы, так и те, кото-рые получили развитие в последние годы. Курс дискретной мате-матики читается во всех ВУЗах, где имеются специальности тех-нического, технологического и естественнонаучного профиля. В первую часть входят следующие разделы: метод математической индукции и неравенство Коши-Буняковского, алгебра высказыва-ний и ее приложение к анализу электрических цепей, теория множеств и теории бинарных предикатов. Для студентов всех специальностей, на которых изучается курс дискретной математики.

Содержание:

Введение 10

ВВОДНАЯ ГЛАВА Метод математической индукции (ММИ) 10

§1. Формулировки ММИ. Доказательство равенств 10

Теорема 1 (стандартный ММИ) 11

Пример 1 11

Доказательство 11

Пример 2 12

Доказательство 12

Пример 3 13

Доказательство 13

Теорема 2 14

Теорема 3 (возвратный ММИ) 14

Теорема 4 14

§2. Доказательство неравенств ММИ. Неравенство Коши 14

Пример 1 14

Доказательство 14

Пример 2 14

Доказательство 15

Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского) 15

Доказательство 15

Определение 2 16

Теорема 3 (неравенство Коши) 16

Доказательство 16

ГЛАВА I Алгебра высказываний 18

§1. Основные понятия. Логические операции 18

Примеры 19

Определение 1 20

Определение 2 20

Определение 3 21

Определение 4 21

Определение 5 22

Вопросы 23

§2. Определение высказывания. Таблица истинности для высказываний 23

Определение 1 24

Определение 2 (индуктивное определение высказывания) 24

Задача 24

Соглашение 1 25

Соглашение 2 25

Соглашение 3 25

Соглашение 4 25

Соглашение 5 25

Пример 25

Теорема 3 26

Доказательство 26

Задача 27

Определение 4 28

§3. Равносильные высказывания. Основные логические тождества 28

Определение 1 28

Примеры 29

Доказательство 29

Доказательство 29

Доказательство 29

Доказательство 30

Доказательство 31

Доказательство 31

Доказательство 31

§4. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ) 32

Определение 1 32

Утверждение 2 33

Доказательство 33

Определение 3 33

Примеры 33

Определение 4 33

Примеры 34

Теорема 5 34

Доказательство 34

Пример 36

Решение 36

Пример 37

Решение 37

Замечание 38

§5. Построение высказываний по таблице истинности. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ) 38

Определение 1 38

Пример 38

Утверждение 2 38

Доказательство 39

Определение 3 39

Пример 39

Теорема 4 40

Доказательство 40

Определение 5 41

Примеры 41

Теорема 6 41

Доказательство 41

Пример 42

§6. Приложение алгебры высказываний к исследованию электрических двухполюсников 42

Пример 44

ГЛАВА II Введение в теорию множеств 48

§1. Основные определения, терминология 48

Понятие множества 48

Пример 1 48

Пример 2 48

Определение 1 48

Теорема 2 49

Доказательство 49

Определение 3 50

Вопрос 50

Пример 1 50

Пример 2 50

Пример 3 50

Теорема 4 50

Доказательство 51

Определение 5 51

Теорема 6 51

Доказательство 51

Определение 7 51

Задача 1 51

§2. Операции объединения и пересечения. Круги Эйлера 52

Определение 1 52

Пример 52

Теорема 2 52

Доказательство 52

Теорема 3 53

Доказательство 53

Определение 4 54

Пример 54

Теорема 5 54

Доказательство 54

Теорема 6 55

Доказательство 55

Теорема 7 (дистрибутивные законы) 55

Доказательство 56

§3. Разность множеств, дополнение 56

Определение 1 56

Пример 56

Теорема 2 56

Доказательство 56

Теорема 3 (законы Моргана) 57

Доказательство 57

Определение 4 58

Пример 58

Теорема 5 58

Доказательство 59

Теорема 6 (законы Моргана для дополнений) 59

Доказательство 59

§4. Декартовы произведения 59

Определение 1 59

Теорема 2 60

Доказательство 60

Определение 3 60

Теорема 4 60

Доказательство 60

Определение 5 61

Пример 61

Упражнения 61

Определение 6 61

Теорема 7 61

Доказательство 62

Теорема 8 63

Доказательство 63

§5. Предикаты 64

Определение 1 64

Определение 2 64

Примеры 64

Задача 65

Примеры отношений 65

Определение 3 66

Определение 4 66

Пример 1 66

Пример 2 67

Теорема 5 67

Доказательство 67

Теорема 6 67

Доказательство 68

Теорема 7 68

Доказательство 68

§6. Отношение эквивалентности 68

Определение 1 68

Пример 1 68

Пример 2 69

Пример 3 69

Пример 4 70

Задача 70

Определение 2 70

Определение 3 70

Определение 4 71

Теорема 5 71

Доказательство 71

Теорема 6 71

Доказательство 71

§7. Отношение порядка 72

Определение 1 72

Примеры 73

Определение 2 75

Теорема 3 75

Доказательство 75

Теорема 4 76

Доказательство 76

§8. Линейно упорядоченные множества. Лексикографический порядок 77

Определение 1 77

Определение 2 77

Теорема 3 77

Доказательство 77

§9. Экстремальные элементы в частично упорядоченных множествах и подмножествах 79

Определение 1 79

Пример 1 79

Пример 2 80

Пример 3 80

Задача 1 80

Задача 2 80

Определение 2 80

Теорема 3 81

Доказательство 81

Теорема 4 81

Доказательство 81

Определение 5 81

Пример 82

§10. Отображения 82

Определение 1 82

Задачи 82

Определение 2 82

Определение 3 83

Определение 4 83

Определение 5 83

Теорема 6 83

Доказательство 83

Теорема 7 84

Доказательство 84

Теорема 8 84

Доказательство 85

Теорема 9 85

Доказательство 85

Определение 10 86

Теорема 11 86

Доказательство 86

Определение 12 86

Пример 1 87

Пример 2 87

Пример 3 87

Определение 13 88

Определение 14 88

Теорема 15 88

Доказательство 89

Примеры обратных отображений 90

Теорема 16 90

Доказательство 90

Определение 17 91

Определение 18 91

Пример 92

ЛИТЕРАТУРА 93