Определение 1
Высказывание "неверно, что А"
называется отрицанием А
и обозначается
(или
,
или
).
Задается действие отрицания с помощью
таблицы истинности:
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
2. Из высказываний А, В можно образовать высказывание "А и В". Например, "2·2=4 и 5+3=9"
Определение 2
Высказывание "А
и В"
называется конъюнкцией высказываний
А и В.
Конъюнкция имеет много обозначений:
,
,
,
.
Конъюнкция задается с помощью таблицы истинности:
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Поскольку результат конъюнкции похож на результат обычного умножения чисел 0 и 1, эту операцию часто называют логическим умножением.
3. Из высказываний А, В можно образовать высказывание "А или В". Например, "2·2=4 или 5+3=9".
Определение 3
Высказывание "А
или В"
называется дизъюнкцией высказываний
А и В
и обозначается
.
Дизъюнкция задается с помощью таблицы истинности:
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкцию иногда называют логическим сложением, но здесь аналогия "портится" четвертой строчкой.
4. Из высказываний А, В можно образовать следующее высказывание: "А тогда и только тогда, когда В". Например, треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны между собой. Синонимами служат фразы: "А в том и только в том случае, когда В", "А необходимо и достаточно для того, чтобы выполнялось В", "А равносильно В", "А эквивалентно B".
Определение 4
Высказывание "А
равносильно В"
называется эквивалентностью
высказываний А
и В и
обозначается
,
,
.
Эквивалентность задается таблицей истинности:
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
5. И, в заключение, определим, пожалуй, самую интересную и самую главную логическую операцию. Из высказываний А и В можно образовать высказывание "если А, то В". Например, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Синонимами служат следующие фразы: "из А следует В", "В является следствием А", "А влечет В", "А достаточное условие для В", "В необходимое условие для А" и т.п.
Определение 5
Высказывание "если
А, то В"
называется импликацией высказываний
А и В
и обозначается
,
.
В этой ситуации высказывание А
называется посылкой, а В –
заключением. Задается импликация
таблицей истинности:
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Сделаем два замечания, которые могут прояснить суть определения таблицы истинности для импликации и, возможно, помогут получше ее запомнить:
1) если посылка ложна, то импликация
всегда истинна, независимо от заключения,
то есть
;
2) если заключение истинно, то импликация
также истинна, независимо от посылки,
то есть
.
Приведем пример высказывания и вычислим все возможные значения его истинности, в зависимости от значений истинности составляющих его простых высказываний и запишем все полученные данные в таблицу истинности.
Пусть
.
Составим таблицу истинности:
A |
B |
C |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Вопросы
1) Все ли значения истинности А, В, С мы перебрали?
2) Почему эти наборы истинности мы расположили именно в таком порядке, а не в каком-то другом?
3) Что такое таблица истинности?
На все эти вопросы мы ответим в следующем параграфе, но было бы неплохо подумать самостоятельно.
§2. Определение высказывания. Таблица истинности для высказываний
В этом параграфе мы дадим точное определение высказывания, реализуя ту идею, что высказывание есть выражение, полученное из простейших высказываний с помощью логических операций. Определим также понятие таблицы истинности и приведем несколько примеров построения таблиц истинности.
Определение 1
Переменная А, принимающая два значения – 0 или 1, называется логической (или булевой) переменной.
Обозначаться логические переменные
будут заглавными латинскими буквами с
индексами или без них:
.
Определение 2 (индуктивное определение высказывания)
1. Каждая логическая переменная является высказыванием. Такие высказывания мы будем называть простейшими.
2. Если А и
В –
высказывания, то
–
тоже высказывания.
3. Других нет.
Задача
Подумайте, какова роль третьего пункта определения.
Приведем примеры выражений, некоторые из которых являются высказываниями, а некоторые – нет. Прежде чем прочитать ответы, подумайте сами.
Первое "высказывание" таковым
не является, так как здесь не хватает
скобок, а если мы внимательно прочитаем
п. 2 определения, то заметим, что
каждая операция
требует пары скобок – открывающей
и закрывающей. Из этого выражения можно
сделать два высказывания:
и
,
которые существенно отличаются друг
от друга, как мы увидим чуть позже. Второе
выражение высказыванием является.
Третье выражение высказываем является.
Казалось бы, это не так – нет скобок
для импликации, но здесь в качестве
"скобок" служит отрицание. Четвертое
выражение высказыванием не является,
оно станет таковым, если поставить
внешние скобки:
.
Наконец, пятое выражение высказыванием
является. Этими примерами хотелось бы
подчеркнуть два обстоятельства:
1) роль скобок – они играют большую роль при правильном построении высказываний и указывают порядок выполнения этих операций (так же, как в арифметике и алгебре);
2) если правильно расставить все скобки, то высказывания становятся весьма громоздкими и трудночитаемыми. Для того, чтобы устранить эту "неприятность", принято соглашение о силе "связывания" логических операций.
Соглашение 1
Если высказывание сконструировано из
однотипных операций, то они выполняются
в порядке их следования. К примеру,
.
Соглашение 2
Внешние скобки не ставятся. Значит
выражения
или
являются высказываниями.
Соглашение 3
Конъюнкция связывает сильнее, чем
дизъюнкция, то есть
.
Соглашение 4
Дизъюнкция связывает сильнее, чем
импликация, то есть
.
Соглашение 5
Импликация связывает сильнее, чем
эквивалентность, то есть
.
Эта серия соглашений позволяет выписывать многие высказывания вообще без скобок. Они восстанавливаются однозначно.
Пример
Тем не менее, в дальнейшем мы будем придерживаться принципа "разумной достаточности". То есть мы будем ставить скобок столько, чтобы выражение легко прочитывалось, но не так много, чтобы запутаться в них. В каждом конкретном случае будет ясно, что мы понимаем под принципом разумной достаточности.
Если высказывание F
построено из логических переменных
,
то мы будем обозначать это так:
.
Первая основная задача, которая здесь
возникает, это вычислить значения
истинности F,
когда переменным
придаются конкретные значения
.
В этом случае мы пишем: значение
равно
,
где
принимают значения 0
или 1. Пример
был приведен в §1,
поэтому сейчас мы поставим вопрос
другой – на каком количестве наборов
вообще надо считать значения
.
Другими словами – сколько существует
наборов длины n
из 0 и 1.