Глава I Алгебра высказываний §1. Основные понятия. Логические операции

Алгебра высказываний является начальным разделом такой важной дисциплины, как математическая логика, которая составляет значительную часть дискретной математики.

Математическая логика вместе с теорией множеств является фундаментом, на котором построена вся современная математика. С прикладной точки зрения математическая логика составляет основу для построения языков программирования, играет большую роль при построении банков данных, банков знаний и вообще во всех вопросах, связанных с искусственным интеллектом. С общеобразовательной точки зрения математическая логика представляет интерес тем, что она позволяет изучать общие логические законы, которые мы постоянно применяем при рассуждениях и дискуссиях (закон двойного отрицания, закон противоречия, закон исключенного третьего и т. п.). Таким образом, математическая логика может служить хорошим инструментом для тех, кто желает научиться точному аналитическому мышлению. Теперь перейдем к фактическому изложению материала.

Под высказыванием мы понимаем предложение русского языка, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Чуть позже станет ясно, почему здесь говорится не об определении, а о понятии высказывания. А в дальнейшем у нас появится возможность дать точное определение высказывания. Высказывания мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита, возможно с индексами: . Если высказывание А истинно, мы будем писать А=1; если высказывание А ложно, мы будем писать А=0.

Примеры

1. А="два умножить на два равно семи"=0

2. В="два плюс два равно 4"=1

3. С="снег белый"=1

4. Д="если сегодня среда, то завтра будет четверг"=1

5. Х="если два плюс два равно пяти, то три плюс два равно десяти"=?

6. Y="если после четверга следует пятница, то после пятницы следует воскресенье"=?

7. Z="если 1+1=3, то после четверга следует суббота"=?

Как ни странно, примеры 5, 6, 7 также представляют собою высказывания. Подумайте, истинны они или ложны. После построения соответствующего математического формализма на эти вопросы уже будет ответить легко.

Существуют, очевидно, предложения русского языка, которые заведомо не являются высказываниями. Например: "Ты пойдешь в кино?", "Отойди от доски!" и т.п.

Но есть предположения, которые по своей структуре очень схожи с высказываниями, но таковыми не являются. Это в дальнейшем и приведет нас к необходимости дать строгое определение высказывания. Рассмотрим следующий пример. Возьмем два листа бумаги, пронумеруем их – номер 1 и номер 2. На первом листе напишем высказывание "На втором листе написана ложь", на втором листе напишем высказывание "На первом листе написана истина". На первый взгляд обычное высказывание, ничем не отличающееся от многих подобных, но...! Задайтесь вопросом, истинно оно или ложно, и Вы увидите, что любое из этих предположений приводит к противоречию, то есть о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно. Такие ситуации в математике и семантике называются логическими парадоксами.

Таким образом, предложение, по форме похожее на высказывание, таким не является.

Из простых высказываний можно получать более сложные с помощью так называемых логических связок или логических операций.

1. Из высказывания А можно получить высказывание "неверно, что А". Например, пусть A="2·2=5", тогда получаем высказывание "неверно, что А".