Пример 1
Пусть
,
тогда
является биекцией.
Пример 2
Пусть
,
тогда
не является взаимно-однозначным и не
является отображением "на".
Если же записать для
следующее:
,
то это отображение становится уже
отображением "на", не являясь
взаимооднозначным. Если же здесь записать
,
то это отображение является биекцией.
Пример 3
Пусть
.
не является взаимооднозначным и не является "на".
является взаимооднозначным, но не
является "на".
является отображением "на", но
не является взаимнооднозначным.
является биекцией.
Приведенные примеры отображений
показывают, что в этой записи большую
роль играет не только структура операции
F, но также
множества А
и В.
Весьма большую роль играет понятие "сужения" отображения.
Определение 13
Пусть
,
причем
.
Сужением отображения F
на множество М
называется отображение
,
которое определено условиями:
1)
;
2) для любого
.
Определение 14
1) Пусть
–
биекция. Обратным отображением
к отображению
называется отображение, которое
определяется условиями:
а)
;
б)
;
в) для любого
.
2) Отображение
определяется следующими условиями:
а)
;
б) для любого
.
называется единичным или тождественным
отображением на А.
Для введенных в определение 14 понятий выполняются свойства, которые мы сформулируем и докажем в теореме.
Теорема 15
Пусть – биекция, тогда:
1)
тоже биекция;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Доказательство
1. Докажем, что
взаимнооднозначно. Пусть
,
тогда
,
но, по определению отображения, образ
у любого
аргумента х
при F
определен однозначно (свойство
однозначности отображений). Поэтому
.
Докажем, что
отображает В
"на"
А. Пусть
,
тогда (по определению
)
,
то есть любой элемент из А
имеет прообраз при
.
2. Возьмем произвольный элемент
и пусть
,
тогда
,
то есть
,
то есть для любого
,
значит,
.
3. Аналогично 2.
4. Пусть
и
,
тогда
или
для любого
,
значит,
.
5. Аналогично 4.
6.
.
Следовательно,
.
Следовательно,
,
то есть
.
Возьмем
и пусть
,
тогда
и вновь, применяя определение обратного
отображения, получаем
,
то есть для любого
,
поэтому
.
Примеры обратных отображений
1.
есть биекция между замкнутыми промежутками
и
.
биективно отображает
на
.
2.
биективно отображает открытый промежуток
на R. Функция
есть биекция между R
и
.
3.
есть биекция множества
на себя. Обратная функция
есть также биекция множества
на себя.
Теорема 16
Пусть
и
–
биекции, тогда:
1) отображение
является биекцией;
2)
.
Доказательство
1) Докажем, что
есть отображение "на". Возьмем
элемент
.
Так как G
есть отображение "на", то
существует
,
такой, что
.
В свою очередь, так как F
есть отображение "на", то
существует
,
такой, что
,
поэтому
,
то есть
есть отображение "на". Докажем,
что
является взаимооднозначным. Возьмем
и
,
тогда
и
в силу взаимной однозначности F.
Так как G
взаимооднозначно, то
,
поэтому
,
то есть
взаимооднозначно, а поэтому является
биекцией.
2)
отображает множество А
на множество С,
значит,
отображает С
на А, то
есть
.
отображает С
на В,
отображает В
на А, поэтому
отображает С
на А, то
есть
.
Возьмем
и пусть
.
Отсюда следует
.
Пусть
,
то есть
,
отсюда
,
то есть
,
отсюда
.
Таким образом,
.
Но отображение
является взаимооднозначным, поэтому
из равенства
следует равенство
.
Мы доказали, что для любого
,
то есть
.
Теорема доказана.
И, в заключение параграфа, определим на множестве отображений теоретико-множественные операции.